2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замена последовательности на асимптотически эквивалентную
Сообщение21.05.2016, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Пусть $x_n$ - некоторая последовательность положительных чисел. А последовательность $y_n$ строится по следующему правилу
$$y_0 = 1$$
$$y_{n+1} = \sum_{k=0}^\infty x_k y_n^{2k}$$
пусть все $x_n$ корректно определены и $y_n$ сходится. И пусть $x'_n$ такова, что $\lim_{n \to \infty} x_n/x'_n = 1$. Обязана ли сходится последовательность $y'_n$ определённая по следующему правилу
$$y'_0 = 1$$
$$y'_{n+1} = \sum_{k=0}^\infty x'_k y'_n^{2k}$$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена последовательности на асимптотически эквивалентную
Сообщение21.05.2016, 11:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
kp9r4d
Пусть $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x_k \cdot t^{2k}$. Тогда условия задачи означают $y_{n+1} = f(y_n)$ , и сходимость к неподвижной точке $f(a) = a$. Ясно, что, изменив первые нескоко членов ряда, можно уничтожить неподвижную точку (или лишить ее устойчивости....).
Пример $f(t) = \frac{1}{2}\cdot 2^{t^2} =\frac{1}{2} e^{t^2 \cdot \ln(2)}$, $f(1)=1$. Однако, заменив $x_0 = \frac{1}{2}$ на $x_0 + \operatorname{const}$ так, что новая функция была везде выше прямой $y=t$, убъем неподвижную точку, и получим расходимость последовательности...

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена последовательности на асимптотически эквивалентную
Сообщение21.05.2016, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
DeBill
Здравое рассуждение, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group