Теоретико-множественное соотношение

[arseniiv]

timber в сообщении #1124505 писал(а):

g______d в сообщении #1124484 писал(а):

Ну вот, кстати, я сейчас открыл 7 издание, и там задачка: если $X\times Y\neq \varnothing$, то $(A\times B)\subset (X\times Y)$ равносильно $(A\subset X)\wedge (B\subset Y)$, что, очевидно, неверно при $A=\varnothing$, $B\not\subset Y$. Ну или я дико торможу.

Ну вот Вы как-то по особенному воспринимаете само утверждение. Почему?
Для меня оно выглядит так: отношение $(A\times B)\subset (X\times Y)$ истинно только в том случае и никогда больше, когда истинна конъюнкция $(A\subset X)\wedge (B\subset Y)$.
А конъюнкция когда истинна? Когда истинны оба высказывания.
Очевидно, что если $B\not\subset Y$, то условие нарушается (высказывание $B \subset Y$ становится ложным) и неверным становится само утверждение.
Оно же не должно быть всегда верным (по утверждению), а только в одном единственном случае.
Все вроде бы логично.

Если $A=\varnothing$, то $A\times B=\varnothing\subset X\times Y$ независимо от $B\subset Y$, так что $A\times B\subset X\times Y$ не влечёт $A\subset X\wedge B\subset Y$, хотя наоборот и да.

[iifat]

gefest_md в сообщении #1124482 писал(а):

Зорич

Спасибо. Подзабыл определения.

timber в сообщении #1124505 писал(а):

и неверным становится само утверждение

... которое вам как раз и предполагается доказать. Обратите внимание:

timber в сообщении #1124505 писал(а):

только в том случае и никогда больше

Похоже, там действительно опечатка.

[arseniiv]

(lifat)

iifat в сообщении #1124507 писал(а):

Подзабыл определения.

Не, это же известная бифуркация обозначений: кто использует $\subset,\subsetneq$, а кто $\subseteq,\subset$ (кажется, иногда берут однозначно читаемые $\subseteq,\subsetneq$).

[timber]

Ну в общем по этой задаче у меня получается только так.
Если мы пишем доказательство через цепочку равносильностей, используя кванторы общности, то в любом случае, как бы мы не проносили кванторы через логические операции, не выйдет записать формулу без некоторых переменных, которые в дальнейшем не позволят без ограничения перейти к правильной равносильной формуле.
Думаю, что единственно правильная идея -- использовать ограничение условием $X\times Y\neq \varnothing$ и квантор существования.
У нас есть отношение $(A \times B) \subset (X \times Y)$ и известно, что $X\times Y\neq \varnothing$.
Это значит, что существует хотя бы одна такая пара $(a, b) \in (A \times B)$, которая принадлежит и множеству $X\times Y$, так как по условию $X\times Y$ должен содержать хотя бы одну пару.
Запишем это условие в виде:
$\exists a \exists b (a \in X \wedge b \in Y) = True = 1$.
Это верно только тогда, когда $(a \in X) = 1$ и $(b \in Y) = 1$.
Теперь в цепочке равносильностей везде применим квантор существования.
Тогда получаем, учитывая, что если одна переменная дизъюнкции равна единице, то результат дизъюнкции всегда будет равен единице независимо от значений других переменных, которые можно сократить:
$\begin{array}{l} (A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, ... \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, (\exists a (a \notin A \vee (a \in X)=1) \vee \exists b (b \notin B)) \wedge (\exists b (b \notin B \vee (b \in Y)=1) \vee \exists a (a \notin A)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \exists a (a \in A \to a \in X) \wedge \exists b (b \in B \to b \in Y) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, (A \subset X) \wedge (B \subset Y) \end{array}$

Что думаете?

[g______d]

timber в сообщении #1124705 писал(а):

Что думаете?

Думаю, что предположение

timber в сообщении #1124705 писал(а):

$X\times Y\neq \varnothing$.

нужно заменить на $A\times B\neq \varnothing$, чтобы доказываемая равносильность была хотя бы верна. А тогда ваши части формулы

timber в сообщении #1124479 писал(а):

$\forall a (a \notin A)$ и $\forall b (b \notin B)$?

просто будет тождественно ложными, и их можно выкинуть.

[timber]

Ну и хорошо.
Благодарю всех за участие!
Перехожу к следующей главе.
Сoming soon!