Теоретико-множественное соотношение

[timber]

Deggial в сообщении #1123775 писал(а):

Следующий вопрос выделен в отдельную тему

timber, новые вопросы оформляйте в виде новых тем.

Мне как-то уже не по себе.
Все еще нахожусь в первой главе Зорича и продолжаю разбираться с теоретико-множественными соотношениями.
Теперь в ход вступает декартово произведение множеств.
Необходимо показать интуитивно очевидную вещь, а именно:
$(X \times Y = \varnothing)\Leftrightarrow\ (X = \varnothing) \vee (Y = \varnothing)$
Начинаю строить цепочку равносильностей:
$(X \times Y = \varnothing) \Leftrightarrow\ \forall(x,y) ((x, y) \in \varnothing) \Leftrightarrow\ \forall(x,y) ((x \in \varnothing) \wedge (y \in \varnothing)) $
И понимаю, что вроде бы что-то не то, так как дальше продвинуться особо не получается.
Мне нужно теперь как-то перейти от конъюнкции к дизъюнкции.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я начинаю строить цепочку или так не получится прийти к правой части?

[timber]

В связи с тем, что мне как-то трудно даются теоретико-множественные построения, а особенно формализация логики, то думаю, что может быть правильным будет отложить пока анализ Зорича в сторону и заняться изучением Роберта Столла "Логика. Множества. Аксиоматические теории".
Интересно, это поможет?

[gefest_md]

Если хотите цепь, тогда начало такое
$X\times Y=\varnothing\ \Leftrightarrow\ \forall w(w\notin X\times Y)$
дальше замените $w\notin X\times Y$ на другую запись, согласно определению множества $X\times Y.$

-- Сб май 14, 2016 01:27:41 --

$w\in X\times Y\ \Leftrightarrow\ \exists x\exists y[x\in X\wedge y\in Y\wedge w=(x,y)]$

[timber]

gefest_md в сообщении #1123473 писал(а):

Если хотите цепь, тогда начало такое
$X\times Y=\varnothing\ \Leftrightarrow\ \forall w(w\notin X\times Y)$
дальше замените $w\notin X\times Y$ на другую запись, согласно определению множества $X\times Y.$

-- Сб май 14, 2016 01:27:41 --

$w\in X\times Y\ \Leftrightarrow\ \exists x\exists y[x\in X\wedge y\in Y\wedge w=(x,y)]$

Подскажите, пожалуйста, а как вообще нужно переходить (вводить эквивалентность) между отношениями множеств к логическим операциям над ними?
У меня есть выражение показывающие отношение между множествами:
$(A \times B) \subset (X \times Y)$
Мне нужно его преобразовать в тавтологию.
Можно ли делать таким образом?
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall(a,b)\forall(x,y)((a,b) \in (A \times B)\to (x,y) \in (X \times Y))$
Или просто так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow (A \times B)\to(X \times Y)$

[timber]

Что-то никто не отвечает.
Наверное написал большую глупость

[ewert]

timber в сообщении #1123810 писал(а):

Все еще нахожусь в первой главе Зорича и продолжаю разбираться с теоретико-множественными соотношениями.

timber в сообщении #1123810 писал(а):

Наверное написал большую глупость

Наверное.

Застрять на теоретико-множественном Зориче, в то время как для него самого всё это не более чем развлечение -- воистину глупость.

Махните рукой и перейдите к более содержательным главам. Насколько я помню (хоть систематически Зорича и не читал) -- он там дальше вовсе не настаивает на ссылках на своё предыдущее. Т.е. он хоть и экстремист, но вовсе не идиот.

[timber]

Махал руками, но от этого почему-то вопрос так не решился
Думаю, что хорошо бы было двигаться дальше, если разобрался с предыдущем.
Исхожу из банального. Если Зорич поместил в начало теоретико-множественную главу с соответствующими задачами, то это для чего то нужно, а не просто поприкалываться.
Известно же, что чтение без решения задач, разбора примеров, создает иллюзию понимания предмета.
Хочу быть последовательным вместе с автором. А иначе, не осознанное сейчас, придется наверстывать потом. Та же потеря времени.

[kernel1983]

(Оффтоп)

timber в сообщении #1123472 писал(а):

заняться изучением Роберта Столла "Логика. Множества. Аксиоматические теории".

Лучше уже взять учебник и задачник Игошина, но только язык логики (исчисления не нужны пока).

[iifat]

timber в сообщении #1123451 писал(а):

$(X \times Y = \varnothing) \Leftrightarrow\ \forall(x,y) ((x, y) \in \varnothing) \Leftrightarrow\ \forall(x,y) ((x \in \varnothing) \wedge (y \in \varnothing)) $

Равносильность, замечу, весьма у вас какая-то подозрительная. Где вы её такую взяли? Не враги ли подсунули?
Если вам интересно любое доказательство, почему б не попробовать от противного? Берём два непустых множества... Вопрос, боюсь, на грани нарушения правил: может ли их прямое произведение быть пустым?

[Sonic86]

timber, матанализ начали писать в 16-17-м веке, теорию множеств и логику - в 19-м.
Чего Вы на этой логике заморочились - я не понимаю. Матанализ на среднем уровне можно асилить вообще без этого.

[timber]

Мы без этого и осваивали анализ в университете.
Мне теперь его хочется изучить на более продвинутом уровне -- уровне необходимом для современного работающего математика.
Скорость освоения второстепенна.
Меня больше не устраивает то, что не получается построить цепочку равносильностей, чем то, что я нахожусь до сих пор в первой главе учебника.

-- 16.05.2016, 08:50 --

Сейчас я говорю об этом отношении:
$(A \times B) \subset (X \times Y)$
Подумал, что может быть правильно начать так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall(a,b) ((a,b) \in (A \times B)\to (a,b) \in (X \times Y))$

[kp9r4d]

timber
Может лучше хорошую книгу по (полу)аксиоматической теории множеств взять, а не вступление учебника по анализу, если вас такие тонкости интересуют?
$A \subset B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \to x \in B)$

-- 16.05.2016, 09:09 --

http://us.metamath.org/mpegif/ixp0.html вывод утверждения в системе metamath proof explorer (правда для бесконечного числа множителей и только в одну сторону).

[tolstopuz]

timber в сообщении #1123451 писал(а):

$(X \times Y = \varnothing)\Leftrightarrow\ (X = \varnothing) \vee (Y = \varnothing)$

Докажите равносильность отрицаний: $(X \times Y \ne \varnothing)\Leftrightarrow\ (X \ne \varnothing) \wedge (Y \ne \varnothing)$. Это гораздо проще.

[gefest_md]

timber в сообщении #1123853 писал(а):

Подумал, что может быть правильно начать так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall(a,b) ((a,b) \in (A \times B)\to (a,b) \in (X \times Y))$

Зорич кажется не пишет так $\forall(a,b)$. Во всяком случае не в учебнике.
Символы сокращают обычные слова. Пример:

1-й вариант. Множество $A \times B$ есть подмножество (часть) множества $X \times Y$.
2-й вариант. Все элементы множества $A \times B$ принадлежат множеству $X \times Y$.
3-й вариант. Любой элемент множества $A \times B$ принадлежит множеству $X \times Y$.
4-й вариант. Для любого элемента, если он принадлежит множеству $A \times B$, то он принадлежит множеству $X \times Y$.

1-й и 4-й варианты удобно сократить.
1-й вариант: $A \times B \subseteq X \times Y$
4-й вариант: $\forall w(w\in A\times B\Rightarrow w\in X\times Y)$

[timber]

Сам смысл мне вроде бы понятен. Я говорю о формате записи.
В учебнике по этому вопросу Зорич пишет две основные вещи.
1. Определение отношения включения одного множества в другое, через запись:
$(A \subset B) := \forall x ((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$
2. Определение множества, которое является результатом определенной операции над двумя множествами:
$(X \times Y) := \left\lbrace\ (x, y)\mid (x \in X) \wedge (y \in Y) \right\rbrace$.

Ну да. Ни в первом, ни во втором случае Зорич не пишет ни $\forall (a, b)$, ни $\forall (x, y)$.
Теперь, если второе поставить в первое, т.е. вместо $A$ поставить $(A \times B)$, а вместо $B$ взять $(X \times Y)$ как бы должно получиться:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall x (x \in (A \times B) \Rightarrow x \in (X \times Y))$.
Но в качестве некоторого элемента $x$ декартова произведения мы рассматриваем упорядоченную пару $(a, b)$, тогда, наверное, можно записать так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall (a,b) ((a,b) \in (A \times B) \Rightarrow (a,b) \in (X \times Y))$.
Но, исходя из п.1 (определения отношения включения) -- отношение определяется на основе рассмотрения любого элемента (не важно как мы его обозначим, главное, чтобы он был определен), который содержится и в одном множестве и в другом, то есть можно записать и так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall m (m \in (A \times B) \Rightarrow m \in (X \times Y))$.

И что из этих трех записей будет правильным выбором, в общем никак не пойму?
У всех есть какая-то логика.