Частные производные сложной функции.

AlekseyM · 06/12/15 11

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, понять, в чём ошибка.
$u=f(\sqrt{x^2+y^2}, xy)$ .
Пусть $u=f(t_1, t_2)$ , где $t_1=\sqrt{x^2+y^2}$ , $t_2=xy$ .
Тогда:
$\frac{\partial u}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{\partial t_1}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $\frac{\partial t_2}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $y$ ;
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $=$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t_1 \partial x}$ $\cdot$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{\partial}{\partial x}$ $(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ $+$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t_2 \partial x}$ $\cdot$ $y$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $0$ $=$ ...
Правильно ли я вычисляю производные ? И почему преподаватель написал, что запись $\frac{\partial^2 u}{\partial t_1 \partial x}$ недопустима?