Частные производные сложной функции.

[AlekseyM]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, понять, в чём ошибка.
$u=f(\sqrt{x^2+y^2}, xy)$.
Пусть $u=f(t_1, t_2)$, где $t_1=\sqrt{x^2+y^2}$, $t_2=xy$.
Тогда:
$\frac{\partial u}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{\partial t_1}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $\frac{\partial t_2}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $y$;
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $=$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t_1 \partial x}$ $\cdot$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_1}$ $\cdot$ $\frac{\partial}{\partial x}$$(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ $+$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t_2 \partial x}$ $\cdot$ $y$ $+$ $\frac{\partial u}{\partial t_2}$ $\cdot$ $0$ $=$ ...
Правильно ли я вычисляю производные ? И почему преподаватель написал, что запись $\frac{\partial^2 u}{\partial t_1 \partial x}$ недопустима?

[Sicker]

AlekseyM в сообщении #1124566 писал(а):

что запись $\frac{\partial^2 u}{\partial t_1 \partial x}$ недопустима?

Потому что у вас функция зависит только от переменных $t_1$ и $t_2$

[AlekseyM]

Sicker
но каждая из переменных $t_1$ и $t_2$ зависит от $x$ и от $y$.

[Sicker]

AlekseyM
Ну да. Но все таки это разные переменные.

[AlekseyM]

Sicker
То есть такое решение неверно?

[Sicker]

Нет.

-- 19.05.2016, 20:23 --

Ну распишите все так, чтобы остались производные только от $t$

[AlekseyM]

Sicker
Как тогда нужно было записать?

[Sicker]

AlekseyM
Все правильно.
Расписывайте дальше.