Скатывание тел с наклонной плоскости в отсутсвие скольжения

[propagator]

Профессор, у которого я работаю ассистентом, привел следующие рассуждения по поводу работы силы трения при скатывании цилиндра с наклонной плоскости в отсутствие скольжения (мой перевод с английского):

Цитата:

Очевидно, при передвижении цилиндра вдоль наклонной плоскости на расстояние $\ell$, работа силы трения $F$ отрицательна и равна $-F \cdot \ell$, однако сила трения также совершают такую же по величине положительную работу вращения ("rotational work"): $\int \tau d\theta = +F R \theta = F \ell$, где использовано то, что $\ell = R\theta$ в отсутствие скольжения, так что полная работа силы трения равна нулю.

Правильно ли это утверждение? Ведь по определению работа силы трения в случае скатывания без скольжения равна нулю, так как эта сила приложена к точке, находящейся на мгновенной оси вращения. Но я не могу объяснить приведенный выше выкрутас $0=F \ell - F \ell$, почему он "работает" и будет ли "работать" в других случаях.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: в подходящий раздел.

[rustot]

Если к отдельно взятой частице системы приложена сила $\vec{F}$, внешняя по отношению к системе, то выражение $\vec{F} dt = d(m\vec{v})$ справедливо как и для этой отдельно взятой этой частицы так и для материальной точки (то есть условной частицы с массой всей системы, расположенной в центре масс системы). И это не зависит от того как именно частицы системы взаимодействуют между собой, составляют ли они твердое тело или вообще никак не взаимодействуют

Выражение $\vec{F} \vec{dr} = d(\frac{m v^2}{2})$ тоже справедливо как и для отдельно взятой частицы так и для материальной точки, однако в этом случае "настоящей" величиной работы, то есть затратами энергии того кто эту силу приложил является только первый вариант. Если $\vec{dr_1}$ - перемещение частицы к которой приложена сила, а $\vec{dr_2}$ - перемещение материальной точки (центра масс системы), то $\vec{F}\vec{dr_1}$ - полная работа, $\vec{F}\vec{dr_2}$ - работа по изменению кинетической энергии материальной точки, $\vec{F}(\vec{dr_1}-\vec{dr_2})$ - работа по изменению внутренней энергии материальной точки

Так что да, сила трения не совершает работы, но в случае применения не к отдельной частице к которой она приложена, а к цилиндру целиком, эта нулевая работа раскладывается на положительную работу по изменению внутренней энергии цилиндра и равную ей по модулю отрицательную работу по изменению кинетической энергии цилиндра как материальной точки.

Сила тяжести же вклада в изменение внутренней энергии не дает потому-что для любой частицы с ненулевым $\vec{F}(\vec{dr_1}-\vec{dr_2})$ находится симметричная ей относительно оси цилиндра частица, с обратным знаком этой величины

[Xey]

rustot в сообщении #1124515 писал(а):

сила трения не совершает работы

rustot в сообщении #1124515 писал(а):

Сила тяжести же вклада в изменение внутренней энергии не дает потому-что для любой частицы с ненулевым $\vec{F}(\vec{dr_1}-\vec{dr_2})$ находится симметричная ей относительно оси цилиндра частица, с обратным знаком этой величины

А если к такой симметричной частице приложена и сила трения, то какая сила дает вклад во вращение цилиндра?

[rustot]

Они просто рассматриваются по отдельности, работа силы тяжести дает один вклад, работа сил трения другой, то есть суммировать работы можно вместо суммирования сил

[propagator]

profrotter в сообщении #1124509 писал(а):

Причина переноса: в подходящий раздел.

не в подходящий перекинули, ну да ладно.

Работа сил действующих на твердое тело, находящееся в произвольном движении дается
$ \delta W = (\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i)\cdot\dot{\mathbf{d}}\delta t + (\sum_{i=1}^n (\mathbf{X}_i-\mathbf{d})\times\mathbf{F}_i) \cdot \vec{\omega}\delta t = (\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{d}}+ \mathbf{T}\cdot \vec{\omega})\delta t,$
где $\mathbf{F}$ и $\mathbf{T}$ есть результирующая сила и крутящий момент приложенный к точке $\mathbf{d}$, совершающей движение вместе с телом. Вывод можно посмотреть, например, здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)

Особой выгоды доказывать таким образом что нуль есть что-то минус что-то я не вижу, даже если это что-то имеет конкретный физический смысл, поскольку нуль в данном примере есть нуль просто по определению работы, а роль силы трения имеет куда более конкретный физический смысл в виде приведения тела во вращение и обеспечения чистого качения. Тем более, в курсе, который читается, студентам дается детсадовское объяснение понятия угловой скорости, так что вывод вышеприведенной формулы им вообще не под силу.

[rustot]

Вы берете какой то сильно частный случай твердого недеформируемого тела. Тогда как через понятия кинетической и внутренней энергий системы это работает всегда, форму вращения или нет примет внутренняя энергия - неважно, даже для системы из двух невзаимодействующих частиц это работает

"Зачем раскладывать ноль на сумму" станет понятнее если вы рассмотрите другой пример, действия силы на движущуюся частицу системы. Будет точно такое же разложение, но уже не ноля.

[propagator]

rustot в сообщении #1124592 писал(а):

Вы берете какой то сильно частный случай твердого недеформируемого тела

ну так изначально рассматривается твердое тело --- цилиндр. В этом случае я действительно не вижу никакой выгоды через задний ход доказывать то, что очевидно по определению.

[rustot]

Такой подход дает умение работать с системами как с материальными точками. Если БЫ вместо цилиндра была одна бесструктурная частица той же массы и к ней были бы приложены той же величины силы и тяжести и трения, то ее поведение было бы точно таким же как и у центра масс цилиндра. Если мы дополнительно получаем информацию что на самом деле одна из сил приложена к неподвижной части системы и работы не совершает (тогда как по предыдущему расчету для материальной точки эта работа не была нулевой) значит мы имеет дополнительную информацию о том как меняется внутренняя энергия системы

[svv]

propagator
Ещё один вариант придать смысл целесообразность построениям профессора.
Вместо работы сил будем рассматривать их мощности (мне так удобнее). Полную мощность $P$ всех сил, действующих на систему, можно в дискретном случае записать как $\sum\limits_i \mathbf F_i\cdot\mathbf v_i$, а в непрерывном как
$\int d\mathbf F\cdot\mathbf v=\int \mathbf f_m\cdot\mathbf v\;dm=\int \mathbf f_V\cdot\mathbf v\;dV$,
где $\mathbf f_m$ и $\mathbf f_V$ — массовая и объёмная плотность сил.

Производная от кинетической энергии системы равна мощности всех действующих на неё сил. Для твердого тела мощность внутренних сил равна нулю, и полная мощность равна мощности внешних сил.

Представим вектор скорости каждой точки цилиндра как сумму скорости центра масс и скорости вращения вокруг центра масс. Тем самым мы разложили поле скоростей цилиндра на два поля скоростей: поступательное $\mathbf v_T$ и вращательное $\mathbf v_R$. И можно находить мощность внешних сил по отношению к $\mathbf v_T$ или $\mathbf v_R$ в отдельности, что даст «парциальные мощности» $P_T$ и $P_R$. Естественно, $P=P_T+P_R$.

Можно показать, что $P_T$ равна производной от кинетической энергии поступательного движения. А $P_R$ равна производной от кинетической энергии вращения. (Это справедливо для описанного разложения $\mathbf v=\mathbf v_T+\mathbf v_R$, но не для произвольного.)

Рассмотрим $P_R$. Она обусловлена тремя действующими на цилиндр внешними силами. Мощность силы реакции плоскости равна нулю, потому что эта сила перпендикулярна $\mathbf v_R$. Мощность силы тяжести равна нулю в силу симметрии (либо, если считать, что она приложена к ц.м., потому, что там $\mathbf v_R=0$). Получается, что в $P_R$ вносит вклад исключительно сила трения. Следовательно,
$F_{\text{трения}}\;\omega R=\frac d{dt}\left(\frac 1 2 I_0\omega^2\right)$,
где $I_0$ — момент инерции цилиндра относительно оси, $R$ — радиус цилиндра.