Радиус круга, если известна длина дуги и расстояние до хорды

[ewert]

amon в сообщении #1124360 писал(а):

Это - оценка остаточного члена ряда Тейлора правой части.

Во-первых, не правой части, а только числителя. Во-вторых, какое отношение числитель (да и даже сама правая часть) имеет к углу?...

amon в сообщении #1124360 писал(а):

Вы сделали тоже самое, но чуть переоценили ее.

Я сделал вовсе не это -- я честно оценил погрешность именно относительную и именно угла. Что же до точности, то $\frac{\pi}{2}\approx1.57$ и, следовательно, $(\frac{\pi}{2})^2\approx2.4=\frac{48}{20}$ с точностью довольно приличной.

[amon]

ewert в сообщении #1124362 писал(а):

Во-первых, не правой части, а только числителя.

Да, соврал. Тогда аккуратно.
Решаем два варианта уравнений:

$$ \begin{align} A&=\frac{1-\cos(\frac{\alpha}{2})}{\alpha}\\ A&=\frac{\alpha_0}{8}\\ \alpha&=\alpha_0+\Delta\alpha \end{align} $$

Тогда если считать, что $1-\cos(\frac{\alpha}{2})\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2-\frac{1}{4!}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^4$ получим

$$ \frac{\alpha_0+\Delta\alpha}{2^3}-\frac{1}{4!}\frac{(\alpha_0+\Delta\alpha)^3}{2^4}=A $$

Откуда с точностью до 1-го порядка по $\Delta\alpha$

$$ \Delta\alpha=\frac{\alpha_0^3}{2\cdot4!-3\alpha_0^2}, $$

что для 90-градусного $\alpha_0$ даёт $\Delta\alpha\approx 0.1$. То есть я проврался на порядок. Виноват, каюсь, но даже для 90 градусов точность вполне приличная - около 6 градусов.

[ewert]

amon в сообщении #1124382 писал(а):

если считать, что $1-\cos(\frac{\alpha}{2})\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha^2}{2}\right)^2-\frac{1}{4!}\left(\frac{\alpha^2}{2}\right)^4$

Так считать лучше не надо. А то ведь

amon в сообщении #1124382 писал(а):

$$ \frac{\alpha_0+\Delta\alpha}{2^3}-\frac{1}{4!}\frac{(\alpha_0+\Delta\alpha)^3}{2^4}=A$$

-- это ничего, что в первом приближении у Вас слева получается альфа вовсе не на восемь?...

Всё гораздо проще. Во втором приближении $A=\frac{\alpha}{8}-\frac{\alpha^3}^{384}$. т.е. $\alpha=\frac{8A}{1-\frac{\alpha^2}^{48}}$. Игнорирование знаменателя даёт относительную погрешность $\frac{\alpha^2}^{48}$ и, соответственно, абсолютную погрешность $\Delta\alpha=\frac{\alpha^3}^{48}$.

Уточнять же начальное приближение $\alpha_1=8A$ проще всего, наверное, итерациями $\alpha_{k+1}=\frac{A\cdot\alpha_k^2}{1-\cos\frac{\alpha_k}{2}}$. Для угла в девяносто градусов машинная точность (double) исчерпывается на 14-й итерации. Впрочем, экранная точность (для которой пяти знаков за глаза хватит) достигается уже на пятом шаге.

Что любопытно, эти итерации дают результат, похоже, при всех допустимых $A$. Правда, при $A\geqslant\frac{1}{\pi}$ корней два, и получить таким образом удаётся только левый из них. Кроме того, вблизи максимально возможного значения $A$ (оно достигается рядом с $\alpha=\frac{3\pi}{2}$) метод сходится, естественно, очень медленно -- для получения машинной точности требуется больше тысячи шагов.

[amon]

ewert в сообщении #1124391 писал(а):

Так считать лучше не надо

Если мою опечатку (два раза квадрат) убрать, то можно. А вообще, теперь уже точно блох ловим, поскольку 6% и 10% неотличимы.

[ewert]

amon в сообщении #1124394 писал(а):

теперь уже точно блох ловим, поскольку 6% и 10% неотличимы.

для рисунков даже 6% -- уже довольно много