Вычисление давления на воздух вращающейся площадки

[Atom001]

Здравствуйте!
Начну из далека. Есть насос:

Нужно найти разность давлений на входе и выходе. Это задача сложная, поэтому я решил рассмотреть сначала простейший случай.
Пусть есть прямоугольная пластинка. Она вращается вокруг оси, проходящей через один из концов пластинки (то есть лопасть вырождается в пластинку). Пластинка вращается равномерно.
Тогда давление пластинки на среду вычисляется по формуле

$$p=\frac{F}{S}$$

Сила связана с ускорением, однако разные точки пластинки имеют разные ускорения. Тогда разбиваем пластинку на горизонтальные полоски. Все точки каждой такой полоски имеют одинаковые ускорения. Значит ускорение каждой полоски найти легко.
Тогда сила, действующая со стороны $i$-ой полоски на среду, вычисляется по формуле

$$dF=dm\cdot a=dm\cdot \omega^2 r$$

Далее массу представляем через объём и плотность, а объём через произведение размеров площадки

$$dF=ac\rho\omega^2\int\limits_{0}^{b}rdr=\frac{1}{2}ab^2c\rho\omega^2$$

Тогда формула для давления имеет вид

$$p=\frac{1}{2}bc\rho\omega^2$$

На данном этапе возник такой вопрос: почему давление не зависит от ширины $a$ пластинки?
Можно подумать, что давление не зависит от площади (меняя площадь, меняем силу), однако давление зависит от высоты $b$ пластинки...

[rustot]

Ничего не понял. Какое отношение сила $m w^2 r$ направленная к оси и действующая только между частицами лопатки имеет отношение к "давлению лопатки на среду"?

И почему вы вообще решили что нарисованная конструкция является насосом, по какой причине она бы качала воздух слева направо а не справа налево? Все что она сделает - это создаст в самом начале небольшое падение давления в центре конструкции, вытолкнув часть воздуха в обе трубы и больше ничего происходить не будет

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1124326 писал(а):

Пусть есть прямоугольная пластинка. Она вращается вокруг оси, проходящей через один из концов пластинки (то есть лопасть вырождается в пластинку). Пластинка вращается равномерно.
Тогда давление пластинки на среду вычисляется по формуле

$$p=\frac{F}{S}$$

Сила связана с ускорением, однако разные точки пластинки имеют разные ускорения. Тогда разбиваем пластинку на горизонтальные полоски. Все точки каждой такой полоски имеют одинаковые ускорения. Значит ускорение каждой полоски найти легко.
Тогда сила, действующая со стороны $i$-ой полоски на среду, вычисляется по формуле

$$dF=dm\cdot a=dm\cdot \omega^2 r$$

Эта сила действует немного в другом направлении (вдоль пластинки). А сила со стороны среды - поперек.

[Denis Russkih]

Хм, возможно, это рисунок в стиле электронных схем?.. И этот нарисованный лицом к зрителю вентилятор — просто условное обозначение элемента "насос лопастной", ничего не говорящее о его внутреннем устройстве?.. Потому что иначе это вообще не насос.

-- 18.05.2016, 15:44 --

Кстати, а ведь можно представить, к примеру, что мы смотрим в большую запаянную трубу, перпендикулярную плоскости чертежа, и в эту трубу врезаны две меньших трубы — одна из них ближе к зрителю, а другая — значительно дальше. :) И вот между входным и выходным отверстиями — этот вентилятор. Тогда насос будет работать.

[Atom001]

Ага... всё гораздо сложнее.
Изобразил я действительно "не насос", как вы говорите. Я рассуждал так. Лопатки крутятся и двигают газ или жидкость. В левой трубе есть некоторое давление $p_0$. Насос Устройство создаёт давление $\Delta p_n$. В правой трубе атмосферное давление $p_a$. Причём, $p_0+\Delta p_n>p_a$ и $p_0>\Delta p_n$.
Честно говоря, я не знаю будет ли это работать.

DimaM в сообщении #1124338 писал(а):

Эта сила действует немного в другом направлении (вдоль пластинки). А сила со стороны среды - поперек.

rustot в сообщении #1124332 писал(а):

Какое отношение сила $m w^2 r$ направленная к оси и действующая только между частицами лопатки имеет отношение к "давлению лопатки на среду"?

Всё правильно, никакого.

Тогда вопрос. Сила прямо пропорциональна ускорению. Но ни у одной точки пластинки нет тангенциального ускорения (так как по условию вращается она равномерно). Сила (поперечная) равна нулю? Да нет... Иначе не работали бы вентиляторы....

[rustot]

Atom001 в сообщении #1124385 писал(а):

Сила прямо пропорциональна ускорению. Но ни у одной точки пластинки нет тангенциального ускорения (так как по условию вращается она равномерно).

Значит сумма сил действующих на эту частицу пластины равна нулю. Это не значит что каждое из слагаемых равно нулю. Сила со стороны частиц воздуха направлена в одну сторону а со стороны других частиц пластины в другую.

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1124385 писал(а):

Сила прямо пропорциональна ускорению. Но ни у одной точки пластинки нет тангенциального ускорения (так как по условию вращается она равномерно). Сила (поперечная) равна нулю?

Сила равна скорости изменения импульса. Импульс чего в данном случае может изменяться?
Сдается мне, что вращающаяся площадка - это слишком сложно. Рассмотрите двигающуюся поступательно поперек себя с постоянной скоростью. Какая тут будет сила?

[Atom001]

rustot в сообщении #1124397 писал(а):

Значит сумма сил действующих на эту частицу пластины равна нулю.

Ясно.

DimaM в сообщении #1124472 писал(а):

Импульс чего в данном случае может изменяться?

Частиц среды.

DimaM в сообщении #1124472 писал(а):

Сдается мне, что вращающаяся площадка - это слишком сложно. Рассмотрите двигающуюся поступательно поперек себя с постоянной скоростью. Какая тут будет сила?

Сила $F$, действующая со стороны пластинки на среду, по модулю равна силе, действующей со стороны среды на пластинку.
Каждая частица среды действует на пластинку с силой $\vec{F_i}=\Delta \vec{p_i}$. Тогда $F=\sum\limits_{i=1}^{N}\Delta \vec{p_i}=\sum\limits_{i=1}^{N}( \vec{p_{2i}}-\vec{p_{1i}})=\sum\limits_{i=1}^{N} m_i(\vec{v_{2i}}-\vec{v_{1i}})\approx 2m\sum\limits_{i=1}^{N} \vec{v_{1i}}$
Теперь, я так понимаю, нужно на основании максвелловского распределения вычислить сумму скоростей.

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1124519 писал(а):

Теперь, я так понимаю, нужно на основании максвелловского распределения вычислить сумму скоростей.

Для случая малых чисел Кнудсена (если газа течет, как сплошная среда) это и малореально, и не нужно.
Далее следует конкретизировать число Рейнольдса - при маленьких течение будет не таким, как при больших.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1124653 писал(а):

Далее следует конкретизировать число Рейнольдса - при маленьких течение будет не таким, как при больших.

Так как начинал я с насоса (и им же хочу закончить), то буду рассчитывать число Рейнольдса для воды.
$\rho=10^3 \text{ kg}/\text{m}^3$
$\eta=8.937\cdot 10^{-4}\text{ kg}/\text{m}\cdot \text{s}$
$l=5\cdot 10^{-2} \text{ m}$
$v=0.1\text{ m}/\text{s}$
Тогда, $Re=5600$. Получается, что будет турбулентное течение. При вращении тем более. А если учесть, что настоящий насос имеет следующее строение:

Denis Russkih в сообщении #1124365 писал(а):

мы смотрим в большую запаянную трубу, перпендикулярную плоскости чертежа, и в эту трубу врезаны две меньших трубы — одна из них ближе к зрителю, а другая — значительно дальше. :) И вот между входным и выходным отверстиями — этот вентилятор.

то, видимо, решение моей задачи будет по меньшей мере не простым....
Вообще я хотел полностью рассчитать насос для конкретной цели. Цель: перекачивать жидкость из нижней части сосуда в верхний, пропуская через "блок сопротивления", где нужно прикладывать усилие, чтобы протолкнуть жидкость. Такая задача разрешима? Теоретически, конечно.

-- 20.05.2016, 20:56 --

Кстати, а про число Кнудсена я ничего не знаю.

-- 20.05.2016, 21:04 --

DimaM в сообщении #1124653 писал(а):

Для случая малых чисел Кнудсена (если газа течет, как сплошная среда) это и малореально, и не нужно.

Так......, если я правильно понял, при малых числах Кнудсена нет необходимости рассматривать столкновения частиц между собой. Однако как этот факт повлияет на то, что можно не учитывать разные скорости разных частиц?