Решение уравнения x^2-p y^2=-1

[evzhur]

Помогите пожалуйста советом. Хочу понять как выглядит множество обратимых элементов в кольце
$Z[\sqrt{p}]$, где $Z$ - кольцо целых чисел, $p$ - простое число. Понятно, что если число $a+b\sqrt{p}$ обратимо, то оно является решением $x^2-p y^2=1$ или $x^2-p y^2=-1$. Первое уравнение это уравнение Пелля, с ним более менее ясно. Не ясно со вторым. Может быть кто-то сталкивался? Имеет ли оно решение при любом простом $p$?

[Andrey A]

evzhur в сообщении #1110008 писал(а):

Имеет ли оно решение при любом p?

Не при любом. $x^2\equiv -1\mod p$ бывает только для простых вида $4k+1$. Пользуйтесь LaTeX'ом, а то...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема возвращена.

[tolstopuz]

https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_ ... l_equation

[vicvolf]

http://www.mathnet.ru/links/0a64d1db90f ... sl3871.pdf

[Andrey A]

vicvolf
Помню про эту работу, но как-то проще я себе это представлял:
если $m=(ab)^2\pm a$ или $m=(ab)^2\pm 2a$, то период разложения $\sqrt{m}$ четный (2-4 знака), и уравнение $x^2-my^2=-1$ неразрешимо за исключением $m=(1\cdot b)^2+1$. Просто по малолетству. В противном случае для разрешимости достаточно $m=p^2+q^2$ при вз. простых $p,q$.
Наверное ошибаюсь. Если не трудно, дайте контрпример.

[Andrey A]

Ага, $\sqrt{178}$ - уже $6$ знаков. Добрался до A031398.

[evzhur]

Друзья, подскажите еще пожалуйста. Существует ли опубликованное где-нибудь решение задачи о нахождении (классификации) всех простых чисел в кольце целых квадратичного поля, в частности в кольце $Z[\sqrt{n}]$, где $n$ -- такое, что $Q[\sqrt{n}]$ -- евклидово кольцо и отрицательное уравнение Пелля разрешимо. Нигде в инете не могу найти.