2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение28.03.2016, 22:42 


09/01/15
12
Помогите пожалуйста советом. Хочу понять как выглядит множество обратимых элементов в кольце
$Z[\sqrt{p}]$, где $Z$ - кольцо целых чисел, $p$ - простое число. Понятно, что если число $a+b\sqrt{p}$ обратимо, то оно является решением $x^2-p y^2=1$ или $x^2-p y^2=-1$. Первое уравнение это уравнение Пелля, с ним более менее ясно. Не ясно со вторым. Может быть кто-то сталкивался? Имеет ли оно решение при любом простом $p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение28.03.2016, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
evzhur в сообщении #1110008 писал(а):
Имеет ли оно решение при любом p?


Не при любом. $x^2\equiv -1\mod p$ бывает только для простых вида $4k+1$. Пользуйтесь LaTeX'ом, а то...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.03.2016, 22:54 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение29.03.2016, 17:55 


20/03/14
12041
 i  Тема возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение29.03.2016, 18:05 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_ ... l_equation

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение31.03.2016, 10:53 


23/02/12
3338
http://www.mathnet.ru/links/0a64d1db90f ... sl3871.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение31.03.2016, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
vicvolf
Помню про эту работу, но как-то проще я себе это представлял:
если $m=(ab)^2\pm a$ или $m=(ab)^2\pm 2a$, то период разложения $\sqrt{m}$ четный (2-4 знака), и уравнение $x^2-my^2=-1$ неразрешимо за исключением $m=(1\cdot b)^2+1$. Просто по малолетству. В противном случае для разрешимости достаточно $m=p^2+q^2$ при вз. простых $p,q$.
Наверное ошибаюсь. Если не трудно, дайте контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение01.04.2016, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Ага, $\sqrt{178}$ - уже $6$ знаков. Добрался до A031398.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения x^2-p y^2=-1
Сообщение18.05.2016, 06:39 


09/01/15
12
Друзья, подскажите еще пожалуйста. Существует ли опубликованное где-нибудь решение задачи о нахождении (классификации) всех простых чисел в кольце целых квадратичного поля, в частности в кольце $Z[\sqrt{n}]$, где $n$ -- такое, что $Q[\sqrt{n}]$ -- евклидово кольцо и отрицательное уравнение Пелля разрешимо. Нигде в инете не могу найти.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group