Умножение матрицы на разнородный вектор.

[ProPupil]

Имеется вектор-функция $\vec u(x) \in C(\mathbb R, \mathbb C) \times L_2(\mathbb R, \mathbb C)$. Есть некоторая постоянная 2х2-матрица $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$. Оператор $A$ переводит вектор-функцию $\vec u$ в вектор-функцию $A\vec u$.

Если быть совсем строгим, то в результате мы получаем, что оператор $A$ переводит пространство $C(\mathbb R, \mathbb C) \times L_2(\mathbb R, \mathbb C)$ в $(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2$

Оператор, очевидным образом, является линейным, и хотелось бы найти его норму.

$$\|Au\|= \|a_{11}u_1 + a_{12}u_2\|_{C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C)} + \|a_{21}u_1 + a_{22}u_2\|_{C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C)}$$

Но при этом $\|x\|_{X_0+X_1} = \inf\limits_{x = x_0+x_1, x_0 \in X_0, x_1 \in X_1} \{\|x_0\|_{X_0} + \|x_1\|_{X1}\}$, что создаёт некоторые проблемы.

В связи с этим я хотел бы спросить: есть ли какая-нибудь возможность избавиться от этого пространства в виде суммы. Или же придётся работать с этим?

[Brukvalub]

ProPupil в сообщении #1124058 писал(а):

Если быть совсем строгим, то в результате мы получаем, что оператор $A$ переводит пространство $C(\mathbb R, \mathbb C) \times L_2(\mathbb R, \mathbb C)$ в $(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2$

Сумма пространства со своим подпространством равна пространству, поэтому $(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))= L_2(\mathbb R, \mathbb C)$ .

[ProPupil]

Если бы у меня были функции, определённые на $[a,b]$, тогда сомнений не возникало бы. Но здесь мешает то, что они определены на всём пространстве. Простой пример: $f(x)=x \cdot i$. Очевидно, что $f \in C(\mathbb R, \mathbb C)$, но при этом $\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,dx = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2\,dx$ расходится, т. е. $f \not \in L_2(\mathbb R, \mathbb C)$.

P. S. А кажется, я понял, в чём у меня проблема. Надо правильно понять смысл пространства $C(\mathbb R)$. Вроде в это пространство подпадают только ограниченные функции, верно?

[Brukvalub]

ProPupil в сообщении #1124069 писал(а):

Если бы у меня были функции, определённые на $[a,b]$, тогда сомнений не возникало бы. Но здесь мешает то, что они определены на всём пространстве.

Теперь я понял ваши обозначения. Выходит, я был неправ, но непонятно другое: зачем складывать функции из разных пространств и получать в сумме назнамо что?

[Someone]

ProPupil в сообщении #1124069 писал(а):

Надо правильно понять смысл пространства $C(\mathbb R)$. Вроде в это пространство подпадают только ограниченные функции, верно?

Есть разные обозначения… Например, я встречал обозначения, в которых $C(\mathbb{R},\mathhbb{C})$ есть пространство непрерывных функций, а $C^*(\mathbb{R},\mathbb{C})$ — пространство непрерывных ограниченных функций. Но если Вы говорите о норме, то, вероятно, речь идёт о пространстве непрерывных ограниченных функций.

ProPupil в сообщении #1124058 писал(а):

хотелось бы найти его норму

А как Вы определяете норму в пространстве $(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2$?

[ProPupil]

Цитата:

А как Вы определяете норму в пространстве $(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2$?

$$\|\vec x\|_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2} = \sqrt{\|u_1\|^2_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))}+\|u_2\|^2_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))}}$$

Цитата:

Теперь я понял ваши обозначения. Выходит, я был неправ, но непонятно другое: зачем складывать функции из разных пространств и получать в сумме назнамо что?

Задача возникла из-за того, что у меня мой вектор получился от преобразования Фурье вектор-функции, у которой первая компонента интегрируема с 1 степенью, а вторая - интегрируема с квадратом.

Соответственно, по свойствам преобразования Фурье получаем, что первая компонента соответствующей вектор-функции непрерывна и ограничена, а вторая - интегрируема с квадратом (для неё преобразование понимается в смысле Фурье-Планшереля).

[Someone]

ProPupil в сообщении #1124098 писал(а):

$$\|\vec x\|_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))^2} = \sqrt{\|u_1\|^2_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))}+\|u_2\|^2_{(C(\mathbb R, \mathbb C) + L_2(\mathbb R, \mathbb C))}}$$

Это тривиальная часть вопроса. А вот как Вы нормы $u_1$ и $u_2$ определяете?

[ProPupil]

$$\|x\|_{C(\mathbb R, \mathbb C)+L_2(\mathbb R, \mathbb C)} = \inf\limits_{x = x_0+x_1, x_0 \in C(\mathbb R,\mathbb C), x_1 \in L_2(\mathbb R, \mathbb C)} \{\|x_0\|_C + \|x_1\|_{L_2}\}$$

[Someone]

Хм, никогда такого определения не встречал. А аксиомы нормы выполняются?

[mihaild]

Если нигде не перепутал, то можно выбрать такие функции $f \in C, g_\alpha \in L_2, \|f\| = \|g_\alpha\| = 1$, что $\|af + bg_\alpha\|_{C + L_2} \geqslant |a| + |b| + h(\alpha)$, где $\lim\limits_{\alpha\to 0} h(\alpha) = 0$. Отсюда уже сразу получается $\|A\|$.

[ProPupil]

Someone в сообщении #1124108 писал(а):

Хм, никогда такого определения не встречал. А аксиомы нормы выполняются?

Да, выполняются. Это проверено в первую очередь.

mihaild, я понимаю, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, но хотелось бы понять, какую норму матрицы вы имели ввиду? Вторую?

[mihaild]

ProPupil, норму $A$ как линейного оператора из $C \times L_2 \to (C + L_2)^2$.

На самом деле, не совсем сразу. Можно написать строки как отдельные операторы, и получить $Ax = (A_1x, A_2x)_{l_2}, A_i: C \times L_2 \to C + L_2$. Т.к. нормы $A_i$ почти достигаются на одних и тех же векторах, то можно выразить норму $A$ через их нормы.

Сообразил: а какую именно норму вы вводите на прямом произведении? Если, например, $c_0$, то всё хорошо, если $l_1$ - то мое рассуждение как минимум сходу не проходит (а возможно и вообще дает неверный ответ).