ЛНДУ ...

[Август]

Необходимо решить такое вот ЛНДУ...

$ h^2 \frac{d^2 f(t)}{dt^2}+ 2f (t) = aQ(t)$

если есть возможность, направьте ...

пока что получил лишь корни: $ u_{1,2} = \pm \frac{\sqrt 2}{h} i$

следовательно $ y = C_1 e^{\frac{\sqrt 2}{h} i} + C_2 e^{- \frac{\sqrt 2}{h} i} $

дальше в Бронштейне предлагаются обозначить какие-то $\alpha , \beta$ ...

[Brukvalub]

А какова функция справа от знака равенства?

[Август]

общий вид, в этом и проблема ...

[Brukvalub]

Август писал(а):

общий вид, в этом и проблема

Если получится решить -срочно публикуйте! Это будет новое слово в науке!

[Август]

а можно ли отталкиваться от:

$f(x) = e^{\alpha x} [P(x) \cos{\beta x} + G(x) \sin{\beta x}] $

и принять $ \alpha = 0, \beta = 0 $, тогда

$f(x) = P(x) $ и пусть $P(x) = a Q(x) $ ? ...

или это уже совсем чушь? ... не думал просто что через 4 года после 2-го так понадобиться МАТАН, хоть бы конспекты не выкидывал ...

[Echo-Off]

Brukvalub писал(а):

Если получится решить -срочно публикуйте! Это будет новое слово в науке!

Правда? По-моему, через свёртку с фундаментальным решением можно посчитать. А найти фундаментальное решение - раз плюнуть.

[Август]

то был юмор ...

Вы не могли бы подробней раскрыть свою мысль? ...

[Echo-Off]

Август писал(а):

Вы не могли бы подробней раскрыть свою мысль?

Это Вы мне говорите?

[Brukvalub]

В виде абстрактных интегралов можно выписать для произвольной непрерывной правой части, но, как я понял из фраз:

Август писал(а):

дальше в Бронштейне предлагаются обозначить какие-то $\alpha , \beta$

Август писал(а):

а можно ли отталкиваться от:

$f(x) = e^{\alpha x} [P(x) \cos{\beta x} + G(x) \sin{\beta x}] $

и принять $ \alpha = 0, \beta = 0 $, тогда

$f(x) = P(x) $ и пусть $P(x) = a Q(x) $ ? ...

Август пытается отыскать решение в элементарных функциях, вот и написал свой вердикт

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

Для выписывания решения с непрерывной правой частью общего вида используйте, например, стандартный метод вариации произвольных постоянных.

[Август]

Echo-Off писал(а):

Август писал(а):

Вы не могли бы подробней раскрыть свою мысль?

Это Вы мне говорите?

да, спрашивал ...

Добавлено спустя 31 минуту 37 секунд:

Brukvalub писал(а):

В виде абстрактных интегралов можно выписать для произвольной непрерывной правой части, но, как я понял из фраз:

Август писал(а):

дальше в Бронштейне предлагаются обозначить какие-то $\alpha , \beta$

Август писал(а):

а можно ли отталкиваться от:

$f(x) = e^{\alpha x} [P(x) \cos{\beta x} + G(x) \sin{\beta x}] $

и принять $ \alpha = 0, \beta = 0 $, тогда

$f(x) = P(x) $ и пусть $P(x) = a Q(x) $ ? ...

Август пытается отыскать решение в элементарных функциях, вот и написал свой вердикт

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

Для выписывания решения с непрерывной правой частью общего вида используйте, например, стандартный метод вариации произвольных постоянных.

просто дрругого ничего не пришло в готову ...

вариация произвольных функций - это многочлены с коэффициентами А, В, С, ...их сумма и приравнивание к правой части? ...

[Someone]

Август писал(а):

Необходимо решить такое вот ЛНДУ...

$ h^2 \frac{d^2 f(t)}{dt^2}+ 2f (t) = aQ(t)$

если есть возможность, направьте ...

пока что получил лишь корни: $ u_{1,2} = \pm \frac{\sqrt 2}{h} i$

следовательно $ y = C_1 e^{\frac{\sqrt 2}{h} i} + C_2 e^{- \frac{\sqrt 2}{h} i} $

Странное что-то Вы написали. Корни комплексные (чисто мнимые в данном случае), поэтому, хотя решение однородного уравнения и можно написать в виде

$$f(t)=C_1e^{\frac{\sqrt{2}}{h}it}+C_2e^{-\frac{\sqrt{2}}{h}it}$$

(найдите несколько отличий от Вашей записи), особенно если комплексные решения Вас устраивают, но обычно всё-таки его пишут в виде

$$f(t)=C_1\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C_2\sin\frac{\sqrt{2}}ht\text{.}$$

Август писал(а):

вариация произвольных функций - это многочлены с коэффициентами А, В, С, ...их сумма и приравнивание к правой части? ...

Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищут в виде

$$f(t)=C_1(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C_2(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht\text{,}$$

где $C_1(t)$ и $C_2(t)$ - неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений

$$\begin{cases}C'_1(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C'_2(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht=0\text{,}\\ C'_1(t)\left(\cos\frac{\sqrt{2}}ht\right)'+C'_2(t)\left(\sin\frac{\sqrt{2}}ht\right)'=\frac a{h^2}Q(t)\text{.}\end{cases}$$

[V.V.]

Никогда не понимал, чем метод вариации произвольных постоянных лучше нахождение ядра Коши и взятия одного интеграла...

[Август]

Someone писал(а):

$$f(t)=C_1\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C_2\sin\frac{\sqrt{2}}ht\text{.}$$

Август писал(а):

вариация произвольных функций - это многочлены с коэффициентами А, В, С, ...их сумма и приравнивание к правой части? ...

Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищут в виде

$$f(t)=C_1(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C_2(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht\text{,}$$

где $C_1(t)$ и $C_2(t)$ - неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений

$$\begin{cases}C'_1(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C'_2(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht=0\text{,}\\ C'_1(t)\left(\cos\frac{\sqrt{2}}ht\right)'+C'_2(t)\left(\sin\frac{\sqrt{2}}ht\right)'=\frac a{h^2}Q(t)\text{.}\end{cases}$$

что-то даже вспоминается, спасибо! ...

$$\begin{cases}C'_1(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht+C'_2(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht=0\text{,}\\ -C'_1(t)\sin\frac{\sqrt{2}}ht+C'_2(t)\cos\frac{\sqrt{2}}ht=\frac a{h \sqrt{2}}Q(t)\end{cases}$$

$\zeta = \cos^2 \frac{\sqrt{2}}ht+ \sin^2 \frac{\sqrt{2}}ht=1$
$C'_1(t) = - {\frac a{h \sqrt{2}}Q(t) \sin\frac{\sqrt{2}}ht}$
$C'_2(t) = \frac a{h \sqrt{2}}Q(t) \cos\frac{\sqrt{2}}ht$

$$C_1(t) = - \frac a{h \sqrt{2}} \int Q(t) \sin\frac{\sqrt{2}}ht dt + C1$$

$$C_2(t) = \frac a{h \sqrt{2}} \int Q(t) \cos\frac{\sqrt{2}}ht dt + C2$$

а дальше просто подставить или можно как-то еще упросить? ...

[Brukvalub]

Подставляйте найденные формулы в общее решение.

[Август]

нашли ответ:

$f(t) = \frac {h}{\sqrt2} f_0 \sin \left {\frac{\sqrt2}{h}t} \right + \frac {h}{\sqrt2} \int_{0}^{t} Q(x) \sin \left {\frac{\sqrt2}{h} (t-x)} \right dx$

при условии, что $f(0)=0, \frac {df(t)}{dt} \right _{при t=0} = f_0 $

и видимо что-то у меня в решении с ним явно не сходиться ...