неравенство 5.

[TR63]

Требуется выяснить, верно ли для неотрицательных (a,b,c) неравенство:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}}\ge\sqrt{a+b+c}$

С учётом гомогенизации можно считать $abc=1$. Рассмотрим случай $0\le a\le b\le c$. Домножая числители и знаменатели, получим эквивалентное неравенство:
$\sqrt{\frac{a^2}{a+b+cb^3}}+\sqrt{\frac{b^2}{b+c+ac^3}}+\sqrt{\frac{c^2}{c+a+ba^3}}\ge\sqrt{a+b+c}$

$\sqrt{\frac{b^2}{b+c+ac^3}}\ge\sqrt{a+b+c}-(\sqrt{\frac{a^2}{a+b+cb^3}}+\sqrt{\frac{c^2}{c+a+ba^3}})\ge0$

Обозначим правую часть неравенства $\varphi$.

$f(a,b,c)=b^2-b\varphi^2-\alpha\varphi^2\ge0$.
$\alpha>0$.

При $b=0$ $\varphi=0$. Это можно доказать.
Вопросы:
1). Верно ли что, считая факт $\varphi\ge0$ доказанным, для доказательства исходного неравенства достаточно доказать, что $f(a, b=c, c)\ge0$. Т.е., можно ли здесь исходить из свойств параболы: если неравенство положительно в двух точках при одном положительном корне, то оно положительно и между этих точек.
2). Если таким свойством пользоваться нельзя, то почему нельзя (может, есть контрпример для наглядности).

(В одномерном случае всё понятно.)

[svv]

По-моему, неверно. Проверьте для $a=1, b=3, c=7$.

[TR63]

svv в сообщении #1122892 писал(а):

По-моему, неверно

Согласна. Спасибо. Думаю, что причина в том, что при $b=0$ $abc\neq1$ и надо рассматривать точку$b=a$. Но тогда получается уравнение 68 степени и вольфрам отказывается такое решать (вероятно, на промежутке есть перемена знака). С контрпримером всё понятно, что неравенство неверно. Но в причине есть сомнения.

[TR63]

Я поняла так, раз не запрещено, то разрешено. Т.е. свойством параболы пользоваться можно. Допустим, что, да, можно. Тогда при $b=c$ получаем верное неравенство от одной переменной (решаем с помощью вольфрама; сводим к разложению на множители; наибольшая степень четвёртая; это всё несущественные попутные детали, т.к. меня интересует только возможность или невозможность применения свойства параболы). Далее в неравенстве:

TR63 в сообщении #1122877 писал(а):

Требуется выяснить, верно ли для неотрицательных (a,b,c) неравенство:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}}\ge\sqrt{a+b+c}$

заменяем правую часть на любую меньшую во всей области определения функцию, не нарушающую гомогенизации, такую, что в точке $b=a$ неравенство верно. Тогда по свойству параболы оно будет верно при $a\le b\le c$. (Мы пользуемся возведением в квадрат обеих частей неравенства; правая часть положительна, левая может быть отрицательной?)