Спор о размерности поверхностей

[AD]

Ну рассматривается многообразие всех ломаных, состоящих из $N$ звеньев. Каждая точка этого многообразия есть ломаная в $\mathbb{R}^3$, состоящая из $N$ звеньев. Как вводится топология и структура гладкого многообразия - понятно. В принципе, никто не мешает взять в этом многообразии подмногообразие какое-нибудь, но вроде бы Фоменко ничего такого не говорил и рассматривал именно всё многообразие целиком.

Я предпочитаю использовать слово "многообразие" вместо слова "пространство", потому что слово "пространство" запутывает своей многозначностью (линейное пространство, топологическое пространство, измеримое пространство, ..., а вы вот вообще произвольное множество, видимо, пространством называете)

[Supreme Being]

AD писал(а):

Ну рассматривается многообразие всех ломаных, состоящих из $N$ звеньев. Каждая точка этого многообразия есть ломаная в $\mathbb{R}^3$, состоящая из $N$ звеньев.

Я бы понял, что имел в виду Фоменко, если бы он сказал так. Это, видимо, Ваша область деятельности - Вам понятно и так как было в оригинале. Мне было непонятно.

AD писал(а):

В принципе, никто не мешает взять в этом многообразии подмногообразие какое-нибудь, но вроде бы Фоменко ничего такого не говорил и рассматривал именно всё многообразие целиком.

Я решил, что он говорил про поверхность, которая является подпространством пространства ломаных.

AD писал(а):

а вы вот вообще произвольное множество, видимо, пространством называете

С чего Вы взяли? Я называю пространством множество + набор аксиом, которым должны удовлетоворять точки множества.

[AD]

Supreme Being писал(а):

Это, видимо, Ваша область деятельности

Ой, неееет. Весьма далеко.

Supreme Being писал(а):

Я называю пространством множество + набор аксиом, которым должны удовлетоворять точки множества.

Хмм. Каких именно аксиом? Или вообще любых? В-общем, это не общепринятый термин.

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Вообще, бывает только одно из двух - либо множество, либо аксиомы. Если дано множество, то аксиомы вводить уже нет смысла - и так известно, какие там соотношения. Если даны аксиомы (например, определение топологического пространства), то имеет смысл ставить вопрос, существует ли множество, этим аксиомам удовлетворяющее. Но вводить аксиомы на множестве ...

[PAV]

AD писал(а):

Но вводить аксиомы на множестве

AD, по-моему, Вы уже придираетесь

Supreme Being писал(а):

Я называю пространством множество + набор аксиом, которым должны удовлетоворять точки множества.

Терминология действительно необщепринятая, но в общем, понятно, что автор имеет в виду.

[Supreme Being]

AD писал(а):

Каких именно аксиом? Или вообще любых? В-общем, это не общепринятый термин.

Хммм. Я в процессе всего этого обсуждения нашел и почитал свой конспект по матану. Когда рассматривались метрические пространства было написано примерно так (по памяти): "Уравнения 1-4 называются аксиомами метрического пространства". Это про положительность, тождество и т.д. расстояния. Что интересно, матан нам читали преподаватели с МатМеха СПбГУ , хотя учился я в другом институте.

[AD]

Ага, то есть словом "пространство" вы обозначаете метрическое пространство. ?

PAV писал(а):

AD, по-моему, Вы уже придираетесь

Ну может быть. Мне показалось, что тут у Supreme Beingа есть некоторое непонимание.

Supreme Being писал(а):

Когда рассматривались метрические пространства было написано примерно так (по памяти): "Уравнения 1-4 называются аксиомами метрического пространства".

Называются. Только ... ну, можно сказать, аксиомы метрического пространства не являются аксиомами. Говоря "метрическое пространство - это когда на множестве есть метрика, удовлетворяющая соотношениям 1-4", мы просто создаём новое условное обозначение: вместо "если на конкретном множестве X введена неотрицательная функция двух аргументов, удовлетворяющая условиям 1-4, то ..." мы говорим "если (X,d) - метрическое пространство, то ...". Аксиомы - это не совсем это. Аксиомы - это когда мы делаем какое-то глобальное заявление. Например: "Существует множество, которому ничто не принадлежит". Без всяких "если". Без каких-либо пояснений.

Ну да ладно.

[незваный гость]

Supreme Being писал(а):

"Форма биомолекулы в пространстве задается при помощи ломаной с множеством узлов и ребер. Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности."

Абсолютно корректна. Набор из $n$ точек в ${\mathbb R}^3$ может естественным образом рассматриваться как точка в пространстве ${\mathbb R}^{3n}$ (это каноническое вложение). Множество точек, соответствующих ломаной, образуют в этом пространстве некоторое многообразие размерности $2 n + 1$ (считая связи жёсткими). В данном случае поверхность и многообразие являются синонимами.

Мне кажется, Вас ввела в заблуждение некоторая неформальность изложения. Но она легко заполняется профи.

Тут есть ещё одна натяжка — молекула = ломаная. Молекула легко может иметь циклы, и в этом случае размерность многообразия становится ещё меньше.

Добавлено спустя 7 минут 2 секунды:

PAV писал(а):

AD, по-моему, Вы уже придираетесь

Supreme Being писал(а):

Я называю пространством множество + набор аксиом, которым должны удовлетоворять точки множества.

Терминология действительно необщепринятая, но в общем, понятно, что автор имеет в виду.

У товарища каша в голове, и не по его вине. Не читал ему никто и никогда основания математики. Считается ненужным.

Аксиомы метрического пространства и т.п. часто называют аксиомами. Понять, в каком случае они действительно часть определения, а в каких — свойство модели (теоремы), уже требует несколько более глубоких знаний и пониманий.

[Supreme Being]

AD писал(а):

Ага, то есть словом "пространство" вы обозначаете метрическое пространство. ?

Нет. Вообще любое пространство. Метрическое, линейное, нормированное и т.д.

Добавлено спустя 6 минут 9 секунд:

незваный гость писал(а):

Мне кажется, Вас ввела в заблуждение некоторая неформальность изложения. Но она легко заполняется профи.

Вам правильно кажется. Более того, я именно это и имел в виду, когда говорил, что фраза некорректна. Вы, видимо, под словом "некорректный" имеете в виду "неверный"?

незваный гость писал(а):

У товарища каша в голове, и не по его вине. Не читал ему никто и никогда основания математики. Считается ненужным.

Вполне возможно. Нам читали намного больше стандартной институтской программы, но при этом кусками и фактически надиктовывая.
Что посоветуете почитать по основаниям математики?