Проверка соотношения подмножеств

[gefest_md]

timber в сообщении #1121802 писал(а):

легко проверить равенство левой и правой части

Почему Вы решили, что требуется проверить равенство.

timber в сообщении #1121802 писал(а):

пришлось в начале выполнить такие преобразования:

$\begin{array}{l} (A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \end{array}$

Не понимаю, что Вы хотели сказать. Может быть $\left(A\subset C_MB\right)\Leftrightarrow \left(\left(\bar{A}\cup(M\setminus B)\right)=M\right)$?

[timber]

gefest_md в сообщении #1121825 писал(а):

Почему Вы решили, что требуется проверить равенство.

Ну а разве не в этом заключается метод характеристических функций?

Цитата:

Метод характеристических функций доказательства справедливости теоретико-множественного тождества заключается в выражении характеристических функций обеих его частей через характеристические функции входящих в него множеств. Тождество верно тогда и только тогда, когда характеристические функции левой и правой частей равны.

[gefest_md]

Для равенства множеств, да. Но в задаче надо проверить, что верно одно тогда и только тогда, когда верно другое. Поэтому я и спросил

timber в сообщении #1121802 писал(а):

пришлось в начале выполнить такие преобразования:

$\begin{array}{l} (A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \end{array}$

что это?

[timber]

gefest_md в сообщении #1121835 писал(а):

Для равенства множеств, да. Но в задаче надо проверить, что верно одно тогда и только тогда, когда верно другое. Поэтому я и спросил

timber в сообщении #1121802 писал(а):

пришлось в начале выполнить такие преобразования:

$\begin{array}{l} (A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \end{array}$

что это?

Этим хотел сказать, что запись в левой части равносильна записи в правой части. Вы намекаете на то, что нельзя ставить знак равносильности между левой и правой частью? Не могу понять Вас.

[gefest_md]

Тогда исходите из того, что если две записи равносильны, то во всём. Здесь же левая запись выражает предложение (о включении одного множества в другое), а правая - нет. Значит не равносильны.

[Otta]

timber
Вас эта ошибка преследует всю дорогу тему. А избавиться от нее не так трудно. Озвучивайте :) то, что доказываете.
Итак, Вы собрались доказывать, что
Множество $A$ содержится в дополнении к $B$ только в том случае, если .... что?

Вам не кажется, что получается как-то не по-русски?

[timber]

Ну я как бы и не совсем русский
Но хорошо, буду стараться озвучивать :)
Конечно же мне нужно доказать, что множество $A$ включено в дополнение к $B$ тогда и только тогда, когда множество $B$ включено в дополнение $A$, то есть:
$\begin{array}{l} (A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (B \subset C_{M}A) \end{array}$

Мне тут было предложено использовать доказательство через характеристические функции. Я понятия не имею как запись вида $(A \subset C_{M}B)$ напрямую представить в виде характеристической функции, поэтому подумал, что можно перейти к другой равносильной записи, исходя из того, что по определению:
$$\begin{array}{l} (A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow (\forall x) (x \in A \to x \in (M \setminus B)) \Leftrightarrow (\forall x) (x \notin A \vee x \in (M \setminus B)) \Leftrightarrow (\forall x) (x \in \bar A \cup (M \setminus B)) \end{array}$.

Ну а вот выражение $(x \in \bar A \cup (M \setminus B))$ уже можно записать через характеристические функции, что и сделал.

[Otta]

timber в сообщении #1121990 писал(а):

Ну а вот выражение $(x \in \bar A \cup (M \setminus B))$ уже можно записать через характеристические функции, что и сделал.

Не можно. Ну как Вы собираетесь это делать? Что такое характеристическая функция множества вообще, определение знаете? Что значит, что $X\subset Y$ на языке х.ф., можете написать?

Остальное не комментирую, потому что увязнем тогда насмерть.

[gefest_md]

timber в сообщении #1121802 писал(а):

Таким образом нам нужно показать, что:
$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \Leftrightarrow\, (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$

Теперь посмотрите на эту запись. Озвучьте её.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Похоже, мне не стоило упоминать характеристические функции и потом внезапно удаляться на сутки.

[Otta]

arseniiv,

(Оффтоп)

ну дык рулите дальше сами обратно, никто ж не против. Я только за. У семи нянек, как грится...
Я вообще не люблю формальные доказательства этих утверждений, ни формально-логические, ни с помощью характеристических функций. Мне как-то словами лучше. :)

[timber]

Otta в сообщении #1121998 писал(а):

timber в сообщении #1121990 писал(а):

Ну а вот выражение $(x \in \bar A \cup (M \setminus B))$ уже можно записать через характеристические функции, что и сделал.

Не можно. Ну как Вы собираетесь это делать?

Подождите, так что ли нельзя?

$\chi_ {\bar A \cup (M \setminus B)} = \chi_{\bar A}+\chi_{M \setminus B}-\chi_{\bar A}\chi_{M \setminus B}$, исходя из формулы $\chi_ {A \cup B} = \chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A}\chi_{B}$.

[Otta]

Слушайте еще раз. Выражение "одно множество содержится в другом" - это некое утверждение. Высказывание. Оно может быть верно, а может и нет. Вы хотите заменить его на функцию, что ли? Функция верной не бывает. И неверной не бывает. Верным/неверным может быть, например, соотношение между функциями. Поэтому чуток придержите своих коней, сделайте шаг назад, и все-таки сформулируйте - и для себя в том числе, - что же означает, что одно множество содержится в другом на языке их характеристических функций.

(Оффтоп)

Я серьезно говорю, я студентов такие вещи заставляю читать. Множество содержится в другом множестве, когда функция $\chi$. Все. Что функция кому сделала или должна сделать? В норме люди при чтении на таких местах спотыкаются. Что можно понять - с одной стороны - и должно побудить задуматься - с другой.

[timber]

gefest_md в сообщении #1122000 писал(а):

timber в сообщении #1121802 писал(а):

Таким образом нам нужно показать, что:
$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \Leftrightarrow\, (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$

Теперь посмотрите на эту запись. Озвучьте её.

Ну да, вроде бы дошло. Или нет
Вы хотите сказать, что тут нельзя говорить о равносильности правого и левого, а нужно ставить знак равенства. В этом случае запись будет верной.
$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) = (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$
То есть, когда у нас есть "отношения" между множествами, то используем между левой и правой частью знак равносильности. А когда есть множества с заданными операциями, то знак равенства. Есть "соотношения" с символом равносильности, а есть "тождества" с символом равенства. Не нужно путать одно с другим.
Так?

[Otta]

timber

timber в сообщении #1122025 писал(а):

Вы хотите сказать, что тут нельзя говорить о равносильности выражений, а нужно ставить знак равенства. В этом случае запись будет верной.

Не знаю, что gefest_md хотел сказать, но

timber в сообщении #1122025 писал(а):

$(\bar{A} \cup (M \setminus B)) = (\bar{B} \cup (M \setminus A))$

это действительно верно.

(Оффтоп)

Можно Вас попросить не использовать окружение array безо всякой на то необходимости? Вы создаете проблемы при цитировании. Если интересно, какие - проверьте.