Внешний дифференциал дифференциальной формы

[Slav-27]

Вот теперь почти, осталось научиться нормально писать индексы.

Hasek в сообщении #1120416 писал(а):

$\partial_X g = \partial_X \circ \partial_Y f = X^i \frac{\partial (Y^i \frac{\partial f}{\partial x^i})}{\partial x^i}.$

Вот так не надо. Индексы бывают свободные и немые. Свободный индекс в каждом слагаемом встречается лишь однажды (сверху либо снизу). Немой индекс -- 2 раза: один раз сверху, один снизу; подразумевается суммирование по всевозможным его значениям. (NB: в $\dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ индекс $i$ нижний). В вашей записи непонятно, по каким парам индексов суммирование. Переименовывайте индексы, чтобы каждый встречался не более чем дважды: вместо $Y^i \dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ можно написать $Y^j \dfrac{\partial f}{\partial x^j},$ ведь всё равно и то и то означает просто $Y^1 \dfrac{\partial f}{\partial x^1}+Y^2 \dfrac{\partial f}{\partial x^2}+...+Y^n \dfrac{\partial f}{\partial x^n}.$

Когда правильно запишете выражение для коммутатора операторов (вы это уже почти сделали), запишите также выражение для компонент коммутатора векторных полей: $[X,Y]^i=...\,.$

-- 03.05.2016, 19:01 --

Если путаетесь, расписывайте всё длинно через многоточие, как я только что написал, или пишите знаки суммирования $\sum\limits_{i=1}^n.$

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1120512 писал(а):

NB: в $\dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ индекс $i$ нижний

Почему нижний, когда, во-первых, это координата, а не вектор, а, во-вторых, Вы сами везде в своём сообщении расположили этот индекс вверху?

$\partial_X \circ \partial_Y f = X^i \frac{\partial (Y^j \frac{\partial f}{\partial x^j})}{\partial x^i} = X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j} + X^i Y^j \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$

$\partial_Y \circ \partial_X f = Y^i \frac{\partial (X^j \frac{\partial f}{\partial x^j})}{\partial x^i} = Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j} + Y^i X^j \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$

Slav-27 в сообщении #1120512 писал(а):

Когда правильно запишете выражение для коммутатора операторов (вы это уже почти сделали), запишите также выражение для компонент коммутатора векторных полей: $[X,Y]^i=...\,.$

$[\partial_X, \partial_Y]^i f = \sum\limits_j X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j} - \sum\limits_j Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j}$

$[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i$

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1120536 писал(а):

Почему нижний

В выражении $x^i$ индекс $i$ верхний. В выражении $\dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ он нижний; это выражение можно (введя новое обозначение) обозначить символом $b_i$ (а символом $b^i$ -- нельзя). С символический точки зрения он нижний потому, что он сверху, но в знаменателе. На самом деле он нижний потому, что это выражение представляет собой компоненту 1-формы, а не вектора. У компонент вектора индекс должен быть верхний (компоненты вектора представляют собой контравариантный тензор), а у компонент 1-формы -- нижний (компоненты 1-формы представляют собой ковариантный тензор).

Выражение для $\partial_X\partial_Y f$ и второе -- правильно. Если вы вычтете одно из другого, то получите выражение для поля, полученного из $f$ действием коммутатора: $[\partial_X,\partial_Y]f.$ Обратите внимание, что вторые производные от $f$ уничтожаются, поэтому коммутатор -- это дифференциальный оператор первого порядка.

Hasek в сообщении #1120536 писал(а):

$[\partial_X, \partial_Y]^i f = \sum\limits_j X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j} - \sum\limits_j Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^j}$

Опять чушь пошла. Во-первых, индекс $i$ слева свободный, а справа немой, это бессмысленно. Во-вторых, нет никакого смысла у выражения $[\partial_X,\partial_Y]^i$ (или по крайней мере вы не написали, какой смысл вы ему придаёте): что такое компонента оператора? по какому базису вы его раскладываете? что такое действие компоненты оператора на скалярное поле? В-третьих, обозначения в правой части непоследовательны: суммирование по $j$ обозначено сигмой, а по $i$ нет.

Или у вас по $i$ нету суммирования? Тогда я вообще не понимаю, откуда это взялось.

Последняя формула, возможно, правильна, но я просил вас обозначать частные производные только в виде $\dfrac{\partial k}{\partial x^i}$: пожалуйста, сделайте именно так, и кроме того напишите, как это выражение получилось. Для этого представьте компонентную запись $[\partial_X,\partial_Y]f$ как компонентную запись $\partial_Z f$ для некоторого векторного поля $Z,$ которое вам следует задать его компонентами $Z^i,$ взяв в качестве этих компонент некоторые выражения от компонент полей $X$ и $Y.$

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1120559 писал(а):

Последняя формула, возможно, правильна, но я просил вас обозначать частные производные только в виде $\dfrac{\partial k}{\partial x^i}$: пожалуйста, сделайте именно так, и кроме того напишите, как это выражение получилось. Для этого представьте компонентную запись $[\partial_X,\partial_Y]f$ как компонентную запись $\partial_Z f$ для некоторого векторного поля $Z,$ которое вам следует задать его компонентами $Z^i,$ взяв в качестве этих компонент некоторые выражения от компонент полей $X$ и $Y.$

$[\partial_X, \partial_Y] f = \partial_Z f = Z^i \frac{\partial f}{\partial z^i}$

$Z^j = X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i} = [X,Y]^j$

[svv]

Hasek в сообщении #1121162 писал(а):

$\frac{\partial f}{\partial z^i}$

Ой...

[Hasek]

svv в сообщении #1121191 писал(а):

Hasek в сообщении #1121162 писал(а):

$\frac{\partial f}{\partial z^i}$

Ой...

Я глупость написал, конечно же. Область остаётся одна и та же, поэтому и координаты там прежние $x^i$ без всяких $z$.

-- 05.05.2016, 13:59 --

$\partial_Z f = Z^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$

[Slav-27]

Ну вот хорошо. Разве тут есть что-то сложное?

Теперь, когда вы примерно поняли, как это всё работает (я надеюсь, хоть не совершенно уверен) -- теперь можно и к нашим баранам возвратиться.

Slav-27 в сообщении #1119339 писал(а):

$d\omega(X,Y)=\partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]).$

Распишите в компонентах.

Стратегия здесь такая же: в инвариантной записи производные вдоль векторного поля, да свёртки форм с векторами, да коммутатор -- в компонентной должны остаться только всякие вещественные функции $n$ переменных и их частные производные.

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1121272 писал(а):

Ну вот хорошо. Разве тут есть что-то сложное?

Когда уже подробно объяснили и терпеливо поправили все ошибки -- нет, не сложно. Но самому разобраться не удавалось.

$\omega = a(x)dx$

$\partial_X \omega(Y) = X^i \frac{\partial a}{\partial x^i} \wedge dx$

$\partial_Y \omega(X) = Y^i \frac{\partial a}{\partial x^i} \wedge dx$

$\omega([X,Y]) = (X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x^j} \frac{\partial a}{\partial x^i} - Y^j \frac{\partial X^i}{\partial x^j} \frac{\partial a}{\partial x^i}) \wedge dx = (X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x^j} - Y^j \frac{\partial X^i}{\partial x^j}) \frac{\partial a}{\partial x^i} \wedge dx$

[Slav-27]

Видимо, даже после этого сложно, потому что опять пишете бог весть что.

Hasek в сообщении #1121304 писал(а):

$\omega = a(x)dx$

Вот это что такое?
Вы знаете, что такое дифференциальная форма?

Остальное вообще дичь какая-то.

Я тут даже не могу сказать, в чём ваша ошибка.

Попробуйте 1) почитать учебник, 2) писать подробнее, откуда что берётся.

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1121307 писал(а):

Вот это что такое?
Вы знаете, что такое дифференциальная форма?

Это вид дифференциальной формы в локальных координатах. Возвращаюсь к условию исходной задачи.

Hasek в сообщении #1119060 писал(а):

$\omega |_U = \sum\limits_{\sigma \in S_k} a_\sigma dx^{\sigma_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\sigma_k}, ~a_\sigma \in F(U)$

Давайте разберём подробнее на примере $\partial_X \omega(Y)$. В $1$-форму $\omega$ подставляем вектор из векторного поля $Y$, то есть координаты этого вектора становятся аргументами функции $a(x^1,\ldots,x^n)$. Далее на эту функцию действует производная по направлению векторного поля $X$ и результат ещё внешне умножается на $dx$ -- получается новая $2$-форма.

Теперь про $\omega([X,Y])$. В функцию $a(x^1,\ldots,x^n)$ в качестве аргументов подставляются координаты $(x^1,\ldots,x^n)$ вектора из векторного поля $[X,Y]$ (коммутатор векторных полей снова векторное поле).

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1121339 писал(а):

Это вид дифференциальной формы в локальных координатах.

1) Что такое $dx$? 2) Почему вы считаете, что произвольная 1-форма имеет вид $a(x)dx$?

С остальным можно разбираться только после этого.

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1121342 писал(а):

1) Что такое $dx$?

Я сам понимал $dx$ просто как дифференциал координаты $x$. Сейчас ещё заглянул в "Современную геометрию" (Дубровин, Новиков, Фоменко), там написано

Цитата:

Можно сказать, что символы $dx^i$ -- это базисные ковекторы $e^i$. Дифференциальная форма $T_i dx^i$ соответствует разложению $T_i e^i$ ковектора по базису.

В общем $dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^k$ -- это базис в пространстве $k$-форм, по которому с некоторыми коэффициентами раскладываются все остальные $k$-формы.

Slav-27 в сообщении #1121342 писал(а):

2) Почему вы считаете, что произвольная 1-форма имеет вид $a(x)dx$?

Не смогу обосновать, но считал, что это так. Это неправильно? И на Википедии определение $k$-формы даётся соответствующим образом. К тому же, если я правильно понимаю условие задачи, то там прямым текстом написано, что локально форма имеет такой вид.

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1121352 писал(а):

Я сам понимал $dx$ просто как дифференциал координаты $x$.

Ну нету же там такой координаты. Там есть $x^1, x^2, x^3...$

К сожалению, я не готов писать для вас учебник, но это уже сделали другие:

Булдырев, Павлов. Линейная алгебра и функции многих переменных.
Постников. Лекции по геометрии. Семестр II (линейная алгебра).
Новиков, Тайманов. Современные геометрические структуры и поля.
Дубровина-Новикова-Фоменко тоже можно читать.

Hasek в сообщении #1121352 писал(а):

В общем $dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^k$ -- это базис в пространстве $k$-форм, по которому с некоторыми коэффициентами раскладываются все остальные $k$-формы.

Нет.

Hasek в сообщении #1121352 писал(а):

Это неправильно? [что произвольная 1-форма имеет вид $a(x)dx$]

Неправильно, потому что символ $dx$ у вас ничего не значит.

Я советую вам почитать книжки из того списка, который я выше написал, чтобы исправить ошибки.

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1121638 писал(а):

Ну нету же там такой координаты. Там есть $x^1, x^2, x^3...$

Согласен, тогда, получается, что про $1$-форму в этой области можно сказать, что локально она имеет вид $\omega = a(x)dx^1$ (или применительно к любой другой координате $\omega = a(x)dx^i$).

Пожалуй, мне действительно лучше пока что оставить эту задачу и постараться в целом привести в порядок свои знания. Спасибо Вам за подробные ответы, у меня хоть какая-то ясность появилась.

[Slav-27]

И зачем было спрашивать что-то про дифференциальные формы, когда вы не знакомы ни с одним (кажется) из понятий, которые встречались в вашем вопросе -- в том числе вы не знаете, что такое дифференциальные формы и что такое дифференциал...

Hasek в сообщении #1121680 писал(а):

Согласен, тогда, получается, что про $1$-форму в этой области можно сказать, что локально она имеет вид $\omega = a(x)dx^1$ (или применительно к любой другой координате $\omega = a(x)dx^i$).

Нет, это чушь.

Hasek в сообщении #1121680 писал(а):

постараться в целом привести в порядок свои знания

А это умная мысль.