Разностный аналог теоремы вложения

[denis1994]

Здравствуйте!
В книге Самарского А.А. "Теория разностных схем" (1989) на стр. 109 имеется следующая лемма:
Лемма 3. Для всякой функции $y(x)$, заданной на равномерной сетке $\bar{\omega}_{h}=\left\{ x_{i}=ih,\,\, i=0,1,...,N,\,\, x_{0}=0,\, x_{N}=l\right\} $ и обращающейся в нуль при $x=0$ и $x=l$, справедливы оценки $\frac{h^{2}}{4}\left|\left|y_{\overline{x}}\right]\right|^{2}\leq\left\Vert y\right\Vert ^{2}\leq\frac{l^{2}}{8}\left|\left|y_{\overline{x}}\right]\right|^{2}$.

Вопрос: существуют ли подобные неравенства для сеточных функций, производная которых в $x=0$ и $x=l$ равна нулю?

Попытался получить оценку по аналогии, разложив функцию $y(x)$ по собственным функциям задачи $u^{\prime\prime}+\lambda u=0,\,\,\,\, x\in\left(0,l\right),\,\,\,\,\, u^{\prime}\left(0\right)=u^{\prime}\left(l\right)=0$ (стр. 104): $y\left(x\right)=\sum_{k=0}^{N}c_{k}\mu^{\left(k\right)}\left(x\right)$, где $c_{k}=\left[y\left(x\right),\,\mu^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]$, $\left\Vert y\right\Vert ^{2}=\sum_{k=0}^{N}c_{k}^{2}$, $\left[y,\, v\right]=\sum_{i=1}^{N-1}y_{i}v_{i}h+0.5h\left(y_{0}v_{0}+y_{N}v_{N}\right)$.
Повторяя доказательство, изложенное для леммы 3, прихожу к неравенству $\lambda_{0}\left\Vert y\right\Vert ^{2}\leq\left\Vert y_{\overline{x}}\right\Vert ^{2}\leq\lambda_{N}\left\Vert y\right\Vert ^{2}$, где $\lambda_{0}=0,\,\,\,\,\lambda_{k}=\frac{4}{h^{2}}\sin^{2}\frac{\pi kh}{2l},\,\,\,\, k=1,\,2,\,...,\, N$ (стр. 106).
Откуда $0\leq\left\Vert y_{\overline{x}}\right\Vert ^{2}\leq\frac{4}{h^{2}}\left\Vert y\right\Vert ^{2}$, т.е. получаю только оценку снизу: $\left\Vert y\right\Vert ^{2}\geq\frac{h^{2}}{4}\left\Vert y_{\overline{x}}\right\Vert ^{2}$.
Можно ли получить оценку для $\left\Vert y\right\Vert ^{2}$ сверху?

[Red_Herring]

denis1994 в сообщении #1113631 писал(а):

Можно ли получить оценку для $\left\Vert y\right\Vert ^{2}$ сверху?

Можно--но только надо отсечь константы. В непрерывном случае это делается, например, через $\int y(x)\,dx=0$ где интеграл берется по всей области, ну и аналогично в сеточном.

[denis1994]

Red_Herring, спасибо за ответ!
Подскажите, пожалуйста, как мне использовать это условие при получении этого неравенства?

[Red_Herring]

Например так: const является с.ф. с с.з. 0. В одномерном случае следующее с.з. оператора $u\mapsto -u''$ с граничными условиями $u'(0)=u'(l)=0$ (в непрерывном случае) $\lambda_1=(2\pi /l)^2$ и потому $\|u\|^2\le \lambda_1 ^{-1}\|u'\|^2$.