Преобразование Фурье

[StaticZero]

Цитата:

Задача. Выполнить преобразование Фурье функции $f(x) = \exp(-a |x|)$, $a > 0$.

Применяю формулу преобразования (на коэффициент всегда успеем умножить), выползает крокодила:

$$ F_+(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} f_+(t) \exp(-i \omega t) \ \mathrm dt = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\big(- (a + i \omega) t\big) \ \mathrm dt. \qquad f_+(x) = \exp(- a x), \ x \geqslant 0 $$

Обычно тут делается замена переменной под экспонентой вида $u = -(a + i \omega) t$, $\mathrm du = -(a + i \omega) \ \mathrm dt$. Но какими будут пределы интегрирования и как с ними потом посчитать интеграл?

Спасибо.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1120113 писал(а):

Но какими будут пределы интегрирования

От нуля до бесконечности, естественно.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1120115 писал(а):

От нуля до бесконечности, естественно.

Я там поправил кое-что. Рассмотрим сначала функцию на $[0; +\infty)$, и так далее.

Почему от нуля? Ведь $-\infty < t < +\infty$.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1120119 писал(а):

Почему от нуля?

Потому что модули положено раскрывать. А чтобы не делать лишней работы, желательно учесть чётность функции.

[StaticZero]

Прошу прощения за молчание.

Сначала, всё же, давайте разберёмся со случаем, когда $x \geqslant 0$.

(Оффтоп)

Тема не знакомая абсолютно, но задачу сказали — сделай. Вот я и делаю...

Будем рассматривать $f(x) = \exp(-\alpha x)$ на положительной полуоси. Имеем

$$ F(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \exp (- i\omega t) \ \mathrm dt = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(- t (\alpha + i \omega)) \ \mathrm dt. $$

Делаем замену:
$y = (\alpha + i \omega) t$, $\mathrm dy = (\alpha + i \omega) \ \mathrm dt$, $-\infty < y < +\infty$, согласно которой получаем по носу:

$$ F(\omega) = \dfrac{1}{\alpha + i \omega} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-y) \ \mathrm dy = +\infty. $$

Вот в этом у меня трудность безотносительно наличия модуля...

[Sicker]

StaticZero
Ну правильно, потому что надо от нуля интеграл брать.

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1121353 писал(а):

на положительной полуоси

А почему это не отразилось на пределах интегрирования? Получается-то, что вы интегрируете её на всей оси.

А вообще есть so-called аддитивность интеграла:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} = \int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{+\infty}.$$

Если применять её как можно быстрее, можно всё получить одной цепочкой равенств прямо из модуля.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1121353 писал(а):

Будем рассматривать $f(x) = \exp(-\alpha x)$ на положительной полуоси. Имеем

$$ F(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \exp (- i\omega t) \ \mathrm dt = $$

Уже не имеем. Вы как-то уж определитесь, по чему интегрируете.

Причём это какая-то устойчивая неожиданность.

[StaticZero]

Сошлюсь на свою дремучесть и напишу: "ну, в "определении" преобразования же так написано...":

Демидович писал(а):

Найти преобразование Фурье

$$ F(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \exp(-itx) \ \mathrm dt $$

для функции $f(t)$, если ... $f(t) = e^{- \alpha |x|}$.

Заметил, что в этом разделе предложенные функции всегда взяты на $\mathbb R$ и ограничены на ней. Из ваших замечаний я начинаю подозревать, что пределы интегрирования зависят от того, где мы пишем преобразование функции...

[Sicker]

StaticZero
Правильно, вы не аналитическую функцию с модулем разбили на две аналитических на разных интервалах, ну так и проинтегрируйте на этих интервалах, потом сложите.

[StaticZero]

Sicker в сообщении #1121360 писал(а):

ну так и проинтегрируйте на этих интервалах

То есть если функцию рассматриваем на $[a, b]$, то нужно писать $\displaystyle \int \limits_{a}^{b} (\ldots)$?

[Sicker]

StaticZero
Вы меня пугаете

[ewert]

StaticZero в сообщении #1121359 писал(а):

Из ваших замечаний я начинаю подозревать, что пределы интегрирования

Вы лучше подозрейте, что пределы в каждом конкретном случае мы можем и варьировать по мере необходимости. Если возникнет такое желание -- и появится такая возможность.

Так вот, тут всё сошлось: и необходимость появилась, и возможность. Дело осталось только за желанием. Вашим.

[StaticZero]

Sicker в сообщении #1121363 писал(а):

У вас матан был?

У нас Фурье не было. И не будет на этом курсе.

(Оффтоп)

Учебник лень открыть, признаюсь. Да, разгильдяй; но задачу решить надо, а желания знакомиться с Фурье нет никакого. Поэтому и вопросы дурацкие, и отношение такое к задаче на "отстань". Прошу прощения, кому-то это может показаться невежеством, но тем не менее.

[Sicker]

StaticZero в сообщении #1121366 писал(а):

У нас Фурье не было.

Но матан то у вас должен быть.