Континуальный интеграл (у Райдера)

[Ascold]

Правильно я понимаю, что в (5.1) http://bookre.org/reader?file=566498&pg=187 интегрируем от $q_i$ до $q_f$ ? Но тогда получается, что в (5.2) интегрировать надо от $q$ до $q_f$. Что значит рис.(5.1), точка q всё-таки однозначно определена или нет? Пытаюсь понять и собрать воедино понятие конт. интеграла у Райдера и Зи, и каша какая-то получается...

[amon]

Ascold в сообщении #1121069 писал(а):

Правильно я понимаю, что в (5.1) интегрируем от $q_i$ до $q_f$

Неправильно. Интегрируем от $-\infty$ до $\infty$.

[Ascold]

Хорошо, тогда возникает вопрос о том, как в пропагаторе "суммируется" квантовая механика системы. Рис. 5.1 демонстрирует разные траектории, интеграл же

$$\psi(q_f,t_f)=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f t_f, q_i t_i )\psi(q_i,t_i)dq_i$$

подразумевает, что начальное положение частицы $q_i$ определено не однозначно, ведь это переменная интегрирования.
Это логично, с учётом того, что в КМ траекторий нет, да и формула (5.1) даёт не "траекторию", а эволюцию волновой функции, но где тогда информация о том, что в момент $t_i$ координата(или совокупность координат) была именно $q_i$, а не какой угодно?

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #1121069 писал(а):

Что значит рис.(5.1), точка q всё-таки однозначно определена или нет?

Рис. 5.1 иллюстрирует формулу (5.2) (а, не формулу (5.1)). На рисунке 5.1 показаны:

точка $q_i, $ относящаяся к моменту времени $t_i$ (это начальная точка траекторий);

точка $q_f, $ относящаяся к моменту времени $t_f$ (это конечная точка траекторий);

четыре "ломаные траектории" (они же - мировые линии, они же - графики зависимости координаты от времени), соединяющие начальную мировую точку $q_i,t_i$ с конечной мировой точкой $q_f,t_f.$ Излом на этих траекториях относится к показанному на рис. 5.1 моменту времени $t.$ Значание координаты $q$ в момент $t$ (т.е. значение координаты точки излома) разное на разных траекториях - тем самым автор иллюстрирует интегрирование по переменной $q$ в формуле (5.2).

Рассмотрим какую-нибудь одну из "ломаных траекторий" на рис 5.1. Нижний прямолинейный её участок символизирует функцию $K(q,t;\,q_i,t_i).$ Верхний прямолинейный участок символизирует функцию $K(q_f,t_f;\,q,t).$ Вся "траектория", с изломом в мировой точке $q,t,$ символизирует произведение этих двух функций:

$$K(q_f,t_f;\,q,t)\,K(q,t;\,q_i,t_i)$$

Наконец, совокупность таких "траекторий" символизирует интеграл по $q$ (на рис. 5.1 изображено лишь четыре "траектории", но подразумевается бесконечная совокупность таких "таекторий" - все они различаются только значением $q$ в момент $t$):

$$\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f,t_f;\,q,t)\,K(q,t;\,q_i,t_i)\,dq \,= \, K(q_f,t_f;\,q_i,t_i)$$

Подразумевается, что в дальнейшем рассуждении каждый прямолинейный участок "траектории" будет аналогичным образом разбит на два участка, т.е. каждая функция $K$ в этом интеграле будет тоже выражена интегралом от произведения двух функций $K.$ И т.д. Такое рассуждение иллюстрируется рисунком 5.3 и формулой (5.6). В пределе такого бесконечного "измельчения" прямолинейных участков формула (5.6) ведёт к "интегралу по траекториям" (5.12) и далее к (5.15).

[amon]

Ascold в сообщении #1121297 писал(а):

Хорошо, тогда возникает вопрос о том, как в пропагаторе "суммируется" квантовая механика системы.

Примерно так. Формула

$$\psi(q_f,t_f)=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f t_f, q_i t_i )\psi(q_i,t_i)dq_i$$

общая. Давайте сначала перейдем в точку $q_1$ в промежуточный момент времени $t_i<t_1<t_f$:

$$\psi(q_1,t_1)=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_1 t_1, q_i t_i )\psi(q_i,t_i)dq_i$$

а потом из этой точки в конечную

$$\psi(q_f,t_f)=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f t_f, q_1 t_1 )\psi(q_1,t_1)dq_1=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f t_f, q_1 t_1 )\int_{-\infty}^{\infty}K(q_1 t_1, q_i t_i )\psi(q_i,t_i)dq_1dq_i.$$

Значит

$$K(q_f t_f, q_i t_i )=\int_{-\infty}^{\infty}K(q_f t_f, q_1 t_1 )K(q_1 t_1, q_i t_i )dq_1.$$

Это полугрупповое свойство величины $K(q_f t_f, q_i t_i )$ и есть основа для построения функционального интеграла (полугрупповое, так как обратного элемента может не существовать). Дальше мы разобьём промежуток на много мелких кусочков, и аппроксимируем $K(q_{k+1}, t+(k+1)\varepsilon, q_k, t+k\varepsilon )$ на малом промежутке времени с точностью до $\varepsilon$

[Ascold]

Благодарю.
Далее Райдер после борновского ряда доказывает, что нерелятивистский пропагатор является для УШ функцией Грина http://bookre.org/reader?file=566498&pg=198. Вопрос такой: а зачем вообще функции Грина в КТП, неспроста же авторы их вводят? Мне это понятие вспоминается из уравнения теплопроводности с 3 курса, в КТП я встретил функции Грина ещё у Пескина и Шредера, но они там в 1-3 главах показались, честно говоря, декорациями. Что в них полезного для КТП?

[Munin]

Функции Грина - это способ решения дифура. Почему бы их не ввести?

[amon]

Ascold в сообщении #1122656 писал(а):

Вопрос такой: а зачем вообще функции Грина в КТП

Тут, боюсь, двумя словами не отделаться. Надо дальше книжку читать. Некие путеводные нити для дальнейшего чтения.
1. А как Вы представляете себе аппарат волновых функций в теории с переменным числом частиц? (Это хороший вопрос, и на него есть конструктивный ответ).
2. В статистике можно оперировать распределением вероятности, а можно - моментами (средним, дисперсией и т.д.). Волновые функции - аналог первого, а функции Грина - второго. Часто достаточно знать несколько первых моментов, что бы иметь представление о том, что происходит.
3. Интеграл

$$Z(\vec{b})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx_1\dots dx_n\exp(-\vec{x}A\vec{x}+\vec{b}\vec{x})=Z(0)\exp(\frac{1}{4}\vec{b}A^{-1}\vec{b}) $$

и если $A$ - оператор, то $A^{-1}$ - его функция Грина. На этой формуле основана вся диаграммная техника.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1122668 писал(а):

Функции Грина - это способ решения дифура. Почему бы их не ввести?

Все таки функции Грина (ФГ) в КТП это не то же самое, что ФГ как способ решения дифура. В конце-концов задачи КТП не сводятся к решению неких дифуров! Хорошо помню, как в молодости меня тоже сбивало с толку название ФГ, я тоже знал, что такое ФГ для дифуравнения и не видел этого уравнения, для которого вакуумные средние от Т-произведения полей есть ФГ в этом смысле.

Это не простой вопрос, зачем ФГ в КТП. Самый простой ответ, пожалуй, такой. Вычислять ФГ удобнее, чем S-матрицу. А S-матрицу "сделать" из ФГ достаточно просто. Кроме того, следуя Швингеру, можно через ФГ выразить амплитуду перехода ваккум-вакуум в присутствии классического источника. Довольно внятная физически штука и в такой задаче появляются именно ФГ, а не матричные элементы S-матрицы. Точнее сначала получается так называемый производящий функционал. Но если его разложить в функциональный аналог ряда Маклорена, то коэффициенты этого разложения --- это квантополевые ФГ и есть. А если взять так называемую евклидову КТП, которая может (хотя и не обязательно) быть естественно интерпретирована как теория тепловых флуктуаций классических полей, то в ней ФГ --- очень естественный, и фактически единственно интересующий нас объект: корреляторы флуктуаций поля. Как amon выше написал.

Кстати, к слову пришлось. Если взять ФГ для дифуров, но нелинейных, и решать пертурбативно, то такие ФГ тоже можно (и довольно естественно) изображать фейнмановскими диаграммами. Но при этом получится, что все (!!!) диаграммы древесные, без петель. КТП в древесном приближении есть классическая теория поля, описываемая дифурами! Но если КТП будет не "древесно упрощенная", то появятся петли, а следовательно соответствующие ФГ никак не могут быть ФГ неких дифуров.

Впрочем, если дифуры стохастические, то тоже петли появятся. Но это уже совсем другая история. Тем более, что там будут добавочные сложности: часть петель нужно выкидывать (но не все), что эквивалентно введению дополнительно грассманового поля (аналогичного духам Фаддеева-Попова) или вместо этого можно метод реплик использовать. В общем это все потом, не для начала Это все весьма обширная тема.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1122702 писал(а):

Все таки функции Грина (ФГ) в КТП это не то же самое, что ФГ как способ решения дифура. В конце-концов задачи КТП не сводятся к решению неких дифуров!

Ну почему? Операторнозначных. :-Ь

Alex-Yu в сообщении #1122702 писал(а):

я тоже знал, что такое ФГ для дифуравнения и не видел этого уравнения, для которого вакуумные средние от Т-произведения полей есть ФГ в этом смысле.

Вторично-квантованное уравнение Дирака (точнее, система уравнений всех полей) - не подойдёт?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1122712 писал(а):

Вторично-квантованное уравнение Дирака (точнее, система уравнений всех полей) - не подойдёт?

Не-а, не подойдет.

[amon]

Производящий функционал функций Грина является решением уравнения Швингера в вариационных производных, которое по виду смахивает слегка на уравнение Шредингера. Однако, на мой взгляд, ТС ещё рано интересоваться этими интимными подробностями из жизни функций Грина.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1122873 писал(а):

Производящий функционал функций Грина является решением уравнения Швингера в вариационных производных, которое по виду смахивает слегка на уравнение Шредингера. Однако, на мой взгляд, ТС ещё рано интересоваться этими интимными подробностями из жизни функций Грина.

Вот именно. "Слегка смахивает", и не более того. Можно еще порассуждать, что, в некотором смысле тоже дифур, но только в пространстве бесконечной размерности Но такими рассуждениями мы вряд ли поможем ТС, скорее навредим.

Я, кстати, хотел было написать про уравнение Швингера, но решил, что в данном случае это только мозги пудрить.

[Ascold]

На стр. 205 внизу http://bookre.org/reader?file=566498&pg=205 есть утверждение, что вероятность приобретения частицей (в результате взаимодействия в приближении первого порядка) импульса в интервале от $\mathbf{p_f}$ до $\mathbf{p_f+dp_f}$ даётся выражением

$$|A|^2\frac{\tau dp_f}{(2\pi h)^3},$$

где $h$ перечёркнуто. Вот не пойму: по определению амплитуды перехода, как и сам Райдер пишет, $|A|^2$ будет просто вероятностью перехода в состояние с импульсом $\mathbf{p_f}.$ Вышеуказанная же формула требует считать $|A|^2$ плотностью вероятности в импульсном пространстве. Как обосновать такой переход?
Если даже считать это плотностью вероятности, то как связаны множители $\tau$ и $(2\pi h)^3$ с нормировкой волновой функции в ящике объёмом $\tau$: чтобы её нормировать на 1 в ящике, достаточно положить $\psi=\frac{1}{\sqrt{\tau}}e^{ipx/h}$, как это даст множители?

[Munin]

Ascold в сообщении #1124196 писал(а):

где $h$ перечёркнуто.

\hbar или \hslash.