неравенство 4.

[TR63]

При решении неравенства из "Олимпиадного раздела" возникла идея, но немного подозрительная. Хочу выяснить: верна ли она.
Для неотрицательных (a,b,c,d) доказать неравенство:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\ge1+4\cdot{\sqrt\frac{abcd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}}$

1). $b\le d$

$(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d})+(\frac{a}{a+b}+\frac{d}{d+a})\ge1+4\sqrt{\frac{c}{(b+c)(c+d)}{\frac{bad}{(a+b)(a+d)}}}$

$(f_1)'_c=\frac{bd-c^2}{(b+c)^2(c+d)^2}$

$(f_3)'_c=\frac{(b-d)(bd-c^2)}{(c+d)^2(b+c)^2}$

$(f_1)'_c\cdot(f_3)'_c\le0$

Это означает, что правая и левая части неравенства находятся в противофазе. Т.е., если одна возрастает, то другая убывает и наоборот. Тогда во втором случае для достижения минимума необходимо, чтобы переменная (c) равнялась хотя бы одной из точек (a,b,d). В первом случае неравенство достаточно доказать при $c=0$.

2). $b>d$

$(\frac{a}{a+b}+\frac{d}{d+a})+(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d})\ge1+4\sqrt{\frac{a}{(a+b)(d+a)}{\frac{bcd}{(b+c)(c+d)}}}$

Аналогично получаем, что минимум достигается, когда переменная (a) равна хотя бы одной из точек(b,c,d) или $a=0$, т.к.

$(f_1)'_a\cdot(f_3)'_a<0$

Далее следует рассмотреть все возможные расположения переменных. Это очень объёмно. Рассмотрим одно расположение:

1). $d>b>c>a>0$, минимум может достигаться только при $c=b$ либо $c=a$. Пусть $c=b$. Надо доказать неравенство:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{d}{d+a})+\frac{b}{b+d}\ge\frac1 2+\sqrt{(\frac{2a}{a+b})(\frac{2b}{b+d})(\frac{2d}{d+a})}$

$\frac1 2+\frac{a}{a+b}\ge\sqrt{\frac{2a}{a+b}}=a_1$

$\frac1 2+\frac{b}{b+d}\ge\sqrt{\frac{2b}{b+d}}=b_1$

$\frac1 2+\frac{d}{d+a}\ge\sqrt{\frac{2d}{d+a}}=d_1$

Применив АМ-ГМ, получим усиленное неравенство:

$a_1+b_1+d_1\ge2+a_1b_1d_1$

$a_1\ge\frac{2-(b_1+d_1)}{1-b_1d_1}$

Для такого случая остаётся доказать, что с уменьшением переменной $a_1$ знак неравенства сохраняется. Фиксируем переменные (b,d).Тогда уменьшение $a_1$ означает уменьшение переменной (a). Далее проводим исследование с помощью частных производных:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{d}{d+a})'_a=\frac{(d-b)(bd-a^2)}{(a+b)^2(d+a)^2}$

$(\frac{a}{(a+b)(d+a)})'_a=\frac{bd-a^2}{(a+b)^2(d+a)^2}$

Достаточно рассмотреть два случая $bd\ge a^2$, $bd<a^2$.

1). $bd\ge a^2$

С уменьшением переменной (a) левая и правая части неравенства уменьшаются. При уменьшении правой части, учитывая, что до того неравенство было верно, знак неравенства сохраняется. При уменьшении левой получаем усиленное неравенство. Уменьшаем до $a=0$. Если оно там верно, то верно и исходное, поскольку верно усиленное.
2). $bd<a^2$ (рассуждаем аналогично).

Остаётся рассмотреть случай $c=a$.

Прошу проверить: есть ли ошибки в таких рассуждениях.