Вывод матричного решения линейных алгебраических уравнений

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1120768 писал(а):

В вузах часто проходят "три способа решения СЛАУ": метод Крамера, метод Гаусса и "метод обратной матрицы".

А как находить обратную матрицу? Идём и видим опять: метод Крамера, метод Гаусса. То есть, "метод обратной матрицы" - это не метод сам по себе, это другой способ записи. (И то, только для систем уравнений $m=n.$)

[ewert]

Munin в сообщении #1120892 писал(а):

А как находить обратную матрицу? Идём и видим опять: метод Крамера, метод Гаусса.

Методом Крамера обратные матрицы не ищут.

Munin в сообщении #1120892 писал(а):

То есть, "метод обратной матрицы" - это не метод сам по себе

Это в точности означает, что обратные матрицы никому не нужны. Во всяком случае, с хорошей точностью (% на 90).

[Munin]

ewert
Послушайте, что вы ко мне привязались? Ходите за мной, и говорите бред про мои слова. Отвяжитесь!

Я всего перечисленного вами - не говорил.

"Метод Крамера" в случае обратных матриц - называется алгебраическими дополнениями, или присоединённой (взаимной, союзной) матрицей. Да, этот метод вычисления наиболее трудоёмок, но для матриц $2\times 2$ и иногда $3\times 3$ - применяется.

[ewert]

Munin в сообщении #1120917 писал(а):

"Метод Крамера" в случае обратных матриц - называется алгебраическими дополнениями

Если Вам (или ещё кому-то) хочется его так обозвать, то у нас свободная страна. Дело не в этом, а в том, что формулы Крамера для решения систем и формула для обратной матрицы не имеют между собой ничего общего. роме общего предка. Причём формулы Крамера выводятся заметно сложнее.

Munin в сообщении #1120917 писал(а):

Я всего перечисленного вами - не говорил.

Говорили. Просто не осознавая, что у Вас выговаривается. Если "метод обратной матрицы" не есть отдельный метод, то он для решения систем и не нужен. Что заведомо не так.

[svv]

ewert в сообщении #1120919 писал(а):

Причём формулы Крамера выводятся заметно сложнее.

Вы можете привести пример учебника, в котором формулы Крамера выводятся так, как Вы имеете в виду?

[ewert]

svv в сообщении #1120953 писал(а):

как Вы имеете в виду?

а как я имею в виду?

[svv]

Как в Вашей фразе «Причём формулы Крамера выводятся заметно сложнее».

[ewert]

Ну Куроша гляньте, например. Но, по-моему, он отнюдь не уникален. Вывод и Крамера, и обратной матрицы в его напрашиваются сами собой.

[svv]

Вывод формул Крамера моей мечты.

Дана система уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей порядка $n$. Считая столбцы матрицы и правой части векторами в $\mathbb R^n$, перепишем СЛАУ так:
$\sum\limits_{k}x_k\mathbf a_k=\mathbf b$
В такой формулировке решение СЛАУ — это нахождение коэффициентов разложения $x_k$ вектора $\mathbf b$ по системе векторов $(\mathbf a_k)$.

Под обозначением $V(\mathbf u_1, ..., \mathbf u_n)$ будем понимать значение определителя матрицы $n\times n$, составленной из векторов-столбцов $\mathbf u_k$, где $k=1,...,n$. Из свойств определителей следует, что $V$ линейна по каждому аргументу, и её значение не изменится, если от одного из аргументов отнять линейную комбинацию остальных ($\heartsuit$).

Обозначим символом $D$ значение $V$ на векторах-столбцах матрицы СЛАУ:
$D=V(\mathbf a_1, ..., \mathbf a_n)$,
а символом $D_i$ — значение функции $V$ от тех же аргументов, за исключением $i$-го, равного $\mathbf b$:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\mathbf b,\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)$
Этот $i$-й аргумент можно записать в виде
$\mathbf b=x_{i}\mathbf a_i+\sum\limits_{k\neq i}x_k\mathbf a_k$ ,
причём сумма является линейной комбинацией остальных аргументов. В силу ($\heartsuit$) её можно вычесть (убрать) из $i$-го аргумента, отчего значение $D_i$ не изменится:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\;x_i\mathbf a_i,\;\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)=x_i D$,
откуда следуют формулы Крамера
$x_i=\frac{D_i}{D}$,
где по условию $D\neq 0$.

[ewert]

svv в сообщении #1121068 писал(а):

Вывод формул Крамера моей мечты.

Дана система уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей порядка $n$. Считая столбцы матрицы и правой части векторами в $\mathbb R^n$, перепишем СЛАУ так:
$\sum\limits_{k}x_k\mathbf a_k=\mathbf b$
В такой формулировке решение СЛАУ — это нахождение коэффициентов разложения $x_k$ вектора $\mathbf b$ по системе векторов $(\mathbf a_k)$.

Под обозначением $V(\mathbf u_1, ..., \mathbf u_n)$ будем понимать значение определителя матрицы $n\times n$, составленной из векторов-столбцов$\mathbf u_k$, где $k=1...n$. Из свойств определителей следует, что $V$ линейна по каждому аргументу, и её значение не изменится, если от одного из аргументов отнять линейную комбинацию остальных ($\heartsuit$).

Обозначим символом $D$ значение $V$ на векторах-столбцах матрицы СЛАУ:
$D=V(\mathbf a_1, ..., \mathbf a_n)$,
а символом $D_i$ — значение функции $V$ от тех же аргументов, за исключением $i$-го, равного $\mathbf b$:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\mathbf b,\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)$
Этот $i$-й аргумент можно записать в виде
$\mathbf b=x_{i}\mathbf a_i+\sum\limits_{k\neq i}x_k\mathbf a_k$ ,
причём сумма является линейной комбинацией остальных аргументов. В силу ($\heartsuit$) её можно вычесть (убрать) из $i$-го аргумента, отчего значение $D_i$ не изменится:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\;x_i\mathbf a_i,\;\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)=x_i D$,
откуда следуют формулы Крамера
$x_i=\frac{D_i}{D}$,
где по условию $D\neq 0$.

-- Чт май 05, 2016 00:46:22 --

svv в сообщении #1121068 писал(а):

Вывод формул Крамера моей мечты.

Дана система уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей порядка $n$. Считая столбцы матрицы и правой части векторами в $\mathbb R^n$, перепишем СЛАУ так:
$\sum\limits_{k}x_k\mathbf a_k=\mathbf b$
В такой формулировке решение СЛАУ — это нахождение коэффициентов разложения $x_k$ вектора $\mathbf b$ по системе векторов $(\mathbf a_k)$.

Под обозначением $V(\mathbf u_1, ..., \mathbf u_n)$ будем понимать значение определителя матрицы $n\times n$, составленной из векторов-столбцов$\mathbf u_k$, где $k=1...n$. Из свойств определителей следует, что $V$ линейна по каждому аргументу, и её значение не изменится, если от одного из аргументов отнять линейную комбинацию остальных ($\heartsuit$).

Обозначим символом $D$ значение $V$ на векторах-столбцах матрицы СЛАУ:
$D=V(\mathbf a_1, ..., \mathbf a_n)$,
а символом $D_i$ — значение функции $V$ от тех же аргументов, за исключением $i$-го, равного $\mathbf b$:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\mathbf b,\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)$
Этот $i$-й аргумент можно записать в виде
$\mathbf b=x_{i}\mathbf a_i+\sum\limits_{k\neq i}x_k\mathbf a_k$ ,
причём сумма является линейной комбинацией остальных аргументов. В силу ($\heartsuit$) её можно вычесть (убрать) из $i$-го аргумента, отчего значение $D_i$ не изменится:
$D_i=V(\mathbf a_1, ...\mathbf a_{i-1},\;x_i\mathbf a_i,\;\mathbf a_{i+1},..., \mathbf a_n)=x_i D$,
откуда следуют формулы Крамера
$x_i=\frac{D_i}{D}$,
где по условию $D\neq 0$.

Это я нечаянно отправил, прошу прощения.

Но, помимо даже и детской неожиданности. Вот сравните свой поток сознания с потоком даже и Куроша.

Так кто у кого выигрывает, а?...

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1121070 писал(а):

Так кто у кого выигрывает, а?...

Мне понравился вывод svv, я присуждаю ему победу.

[svv]

Спасибо, Brukvalub.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1121080 писал(а):

я присуждаю ему победу.

Безусловно, он победил. Примерно в пять раз. Примерно в пять раз его д-во длиннее необходимого.

Правда, надо ещё учитывать, что Курош сильно отстал от жизни. В его времена многословность не считалась особым так достоинством. Потому и затянул он своё д-во всего лишь в несколько раз. А ведь мог бы и до бесконечности.

Ну, типо интеллегентности не хватило.