Определение алгебраического кольца, полукольца

[Dmitry Strelnikov]

Всем доброго времени суток!
Приходится работать с мерой и интегралами Лебега-Стилтьеса. Т.к. в период обучения в университете курс теории меры и интеграла пролетел немного мимо меня, сейчас наверстываю упущенное.
Читаю теорию меры с самого начала, решаю упражнения (Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла).
Не совсем понятно, почему выбрано именно такое определение для полукольца множеств (требование о представимости разности элементов через дизъюнктное объединение элементов класса).
Для того, чтобы вникнуть, решил обратиться к чисто алгебраическим определениям полукольца и кольца, провести аналогии.

Заглянув на википедию, пришел к противоречию.

На этой странице дано определение полукольца.
Аксиома 4:
$a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$

Цитата:

Последняя аксиома опускается в определении кольца, так как там она следует из других аксиом, здесь же её приходится добавлять.

Или я чего-то сильно не понимаю, или там допущена ошибка. Ниже мои рассуждения.
Из существования нейтрального элемента и дистрибутивности:
$a \cdot b = a \cdot (b + 0) = a \cdot b + $a \cdot 0
$a \cdot 0 = 0$
$b \cdot a = (b+0)\cdot a = b\cdot a + 0\cdot a$
$0 \cdot a = 0$
Раньше я сталкивался с ошибками и неточностями на википедии (все-таки свободное редактирование), поэтому решил заглянуть в книгу. Открыл Куроша А.Г. Курс высшей алгебры. У него определение полукольца не дается, сразу ($\S 44$) идет определение кольца. Но оно немного отличается, например, требуется коммутативность умножения. Так что подскажите, пожалуйста, автора, на определение которого можно ориентироваться, как на классическое.

Заранее спасибо!

[mihaild]

Dmitry Strelnikov в сообщении #1120293 писал(а):

$b \cdot a = (b+0)\cdot a = b\cdot a + 0\cdot a$
$0 \cdot a = 0$

Вот в этом переходе ошибка. Т.к. у нас нет обратного элемента по сложению, то из $a + b = a$ не следует $b = 0$.

Можно даже пример привести: $\{0, 1\}, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1, x \cdot y = 1$.

[Dmitry Strelnikov]

mihaild в сообщении #1120311 писал(а):

Dmitry Strelnikov в сообщении #1120293 писал(а):

$b \cdot a = (b+0)\cdot a = b\cdot a + 0\cdot a$
$0 \cdot a = 0$

Вот в этом переходе ошибка. Т.к. у нас нет обратного элемента по сложению, то из $a + b = a$ не следует $b = 0$.

Можно даже пример привести: $\{0, 1\}, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1, x \cdot y = 1$.

Точно, я сильно протупил здесь. Спасибо большое!

P.S. А на счет автора, который дает классические определения не подскажете?

[Someone]

А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре. "Наука", Москва, 1973.

С определения кольца начинается § 2 главы II. Термин "полукольцо" в книге не встречается.