Волновое уравнение

[Dyadya_Magistr]

Здравствуйте,

Нужно решить вот такую вот задачку,

$u_{tt} - u_{xx}=0, \ \ \ \ x,t>0 $

$u(x,0)=g(x), \ \ \ u_t(x,0)=h(t), \ \ \ x>0$

$u(0,t)= \alpha (t), \ \ \ \ t >0$

Здесь, $g,h, \alpha \in C^2 ([0, \infty])$

$ \alpha (0) = g(0), \alpha ' (0)= h(0), \alpha'' (0)= g''(0)$

Я подозреваю, что здесь нужно использовать формулу Даламбера и четную симметрию.

Есть ли у кого нибудь другие идеи на этот счет?

Заранее благодарен.

[Red_Herring]

Dyadya_Magistr в сообщении #1120376 писал(а):

Я подозреваю, что здесь нужно использовать формулу Даламбера и четную симметрию.

Действительно, это один из способов, но симметрия нечётная для нулевого граничного условия Дирихле (для Неймана была бы четная). А как поступить при ненулевой $\alpha$? Самое простое взять $v$, удовлетворяющую этому условию (и лучше всего $v(x,t)=\alpha(t-x)$ при $x>t$, $0$ при $x<t$ (подумайте, почему) и затем найти $w$, т.ч. $u=v+w$

[Dyadya_Magistr]

Спасибо большое. Нельзя ли обозначить $v(x,t)=u(x,t)-\alpha (t-x)$.

Тогда если мы подставим $v(x,t)$ в наше уравнение мы получим:

$v_{tt}-v_{xx}=0, \ \ \ x,t>0$

$ v(x,0)=u(x,0)- \alpha(-x) =g(x)- \alpha(-x), \ \ \ x>0$

$ v(0,t)=u(0,t)- \alpha(t) = \alpha(t) - \alpha (t) = 0, t>0$

а потом применить нечетную симметрию?