Сечение сюрьективного отображения

[ikozyrev]

Друзья, помогите разобраться, совсем запутался.
В одной из лекций Миши Вербицкого, наткнулся на такое определение акиомы выбора:


Но как такое вобще может быть? Если $\varphi$ - сурьекивно, то все элементы B покрыты этим отображением, а значит элементов B не больше чем элементов A, но в таком случае как мы можем обратно отобразить из B в A так, чтобы каждый элемент A был покрыт B?

Может у Вербицкого тут где-то ошибка?

[arseniiv]

Может, у него $(f\circ g)(x) = g(f(x))$?

[Brukvalub]

ikozyrev в сообщении #1119422 писал(а):

как мы можем обратно отобразить из B в A так, чтобы каждый элемент A был покрыт B?

Этого в определении не требуется.
Исходное отображение представляет прообраз в виде дизъюнктивного объединения подмножеств: каждое подмножество состоит из всех элементов прообраза, попавших в фиксированный элемент образа, то есть это прообраз элемента. Чтобы построить сечение, нужно выбрать по одному элементу в этих подмножествах, что эквивалентно аксиоме выбора, после чего отобразить каждый элемент образа в выбранный элемент его прообраза.

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1119425 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1119422 писал(а):

как мы можем обратно отобразить из B в A так, чтобы каждый элемент A был покрыт B?

Этого в определении не требуется.
Исходное отображение представляет прообраз в виде дизъюнктивного объединения подмножеств: каждое подмножество состоит из всех элементов прообраза, попавших в фиксированный элемент образа, то есть это прообраз элемента. Чтобы построить сечение, нужно выбрать по одному элементу в этих подмножествах, что эквивалентно аксиоме выбора, после чего отобразить каждый элемент образа в выбранный элемент его прообраза.

Как же это не требуется если написано, что $\psi\circ\varphi=Id$?
Это же значит что в результате композиций этих отображений мы должны получить в точности множество A?

Или под Id здесь понимается то что каждый выбранный элемент (в том смысле что вы описали выше) А должен отобразиться в самого себя (а не все A) в результате композиции этих отображений?

[Brukvalub]

Думаю, что прав arseniiv:

arseniiv в сообщении #1119424 писал(а):

Может, у него $(f\circ g)(x) = g(f(x))$?

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1119428 писал(а):

Думаю, что прав arseniiv:

arseniiv в сообщении #1119424 писал(а):

Может, у него $(f\circ g)(x) = g(f(x))$?

Так в такой то нотации все очевидно понятно.
Меня смутило именно $\psi\circ\varphi=Id$

[svv]

В лекциях Миши есть и другие подтверждения того, что он понимает композицию именно так, специально пролистал.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1119457 писал(а):

В лекциях Миши есть и другие подтверждения того, что он понимает композицию именно так, специально пролистал.

Ну будем считать что это специфика обозначений Миши :)

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1120280 писал(а):

Ну будем считать что это специфика обозначений Миши

С Мишей я не знаком, но для меня запись $(\psi\circ\phi)(x)=\phi(\psi(x))$ выглядит абсолютно естественной, в то время как запись $(\psi\circ\phi)(x)=\psi(\phi(x))$, на мой взгляд, несколько противоестественна: в композиции $\psi\circ\phi$ отображение $\psi$ — первое, и должно применяться первым. Конфликта не было бы, если бы использовалась обратная запись: $x(\psi\circ\phi)=x\psi\phi$, при которой аргументы пишутся слева, а действующие на них операции — справа (польская бесскобочная запись).

[ewert]

Someone в сообщении #1120398 писал(а):

в композиции $\psi\circ\phi$ отображение $\psi$ — первое

Соответственно, в записи $AB\vec x$ вектор $\vec x$ сперва умножается на матрицу $A$.

[Someone]

ewert в сообщении #1120400 писал(а):

Соответственно, в записи $AB\vec x$ вектор $\vec x$ сперва умножается на матрицу $A$.

Здесь написано умножение матриц, а не композиция. Сначала перемножаются матрицы $A$ и $B$, потом результат умножается на столбец $\vec x$.
Вообще, я всего лишь говорю о том, что для меня выглядит естественным, а что нет. При чтении литературы я вполне в состоянии разобраться в обозначениях.

[ewert]

Someone в сообщении #1120403 писал(а):

Здесь написано умножение матриц, а не композиция

А умножение матриц и есть композиция.

[Someone]

Мало ли кто какими словами может называть умножение. Под всех не подстроишься.

[arseniiv]

Насчёт композиции есть как минимум два выхода, при которых все были бы довольны:
• Писать аргументы композиции сверху вниз (применяются сначала верхние). Не совсем прозрачно: можно решить и что они применяются снизу вверх, та же проблема.
• Использовать что-то типа <<< и >>> из хаскеля (и, наверно, ещё некоторых функциональных языков) (притом там есть и операция ., явно возникшая из $\circ$, и по умолчанию она входит в пространство имён, а эти две требуют подключить кое-что). Правда, за $\ggg,\lll$ зарезервирован кое-какой другой смысл (только у физиков?), но можно придумать и другие варианты, явно показывающие направление. Что-то типа $f\mathbin{\rightarrow\!\!\!\!\!\!\circ\,\,}g,f\mathbin{\leftarrow\!\!\!\!\!\!\circ\,\,}g$.

Но все они не сохраняют традицию, и это, конечно, минус.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1120440 писал(а):

Насчёт композиции есть как минимум два выхода

Ну ещё в некоторых случаях postfix notation помогает (даже для умножения матриц композиции как раз подходит).