2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 неравенство 3(а)
Сообщение25.04.2016, 12:13 


03/03/12
1266
Решаю неравенство из "Олимпиадного раздела". Получается что-то совсем подозрительно просто. Прошу проверить, есть ли ошибки.
Для неотрицательных a,b,c при $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ доказать неравенство:

$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24b+25}+\sqrt{24c+25}\ge21$

$b\le a\le c$, $1\le c\le4$, $b\le a\le2$

$b=4-a-c-\sqrt{abc}\ge4-a-c-a\sqrt c$

Будем решать усиленное неравенство:

$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-a\sqrt c)+25}+\sqrt{24c+25}\ge21$

$f'_a=12[\frac{1}{\sqrt{24a+25}}-\frac{1+\sqrt c}{\sqrt{24(4-a-c-a\sqrt c)+25}}]$

$f'_a(a;c=1)=12[\frac{1}{\sqrt{24a+25}}-\frac{2}{\sqrt{24(3-2a) +25}}]\le0$ при $0\le a\le2$, т.к. при $a=0$ верно. Далее при увеличении переменной (a) значение выражения уменьшается и потому не может стать положительным. При $c>1$ знаменатель уменьшается, числитель увеличивается, дробь увеличивается, разность уменьшается. Т.е. частная производная не может быть положительной, т.к., если допустить, что существует $(a_i;c_i)$, где она положительна, получим противоречие. В точке $(a_i;1)$ не положительна. Далее при увеличении переменной (c) тоже, т.к. разность уменьшается.
Верно ли, что тогда достаточно усиленное неравенство доказать при $a=0$, $a=c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение25.04.2016, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13758
Вопрос: почему $a \leqslant 2$?
Может быть это не существенно далее, но как-то сразу споткнулся.
Ведь у Вас $b \leqslant a \leqslant c $

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение25.04.2016, 14:03 


03/03/12
1266
Если $a>2$, тогда получаем,что $c\ge2$. Тогда не выполняется условие:
TR63 в сообщении #1118088 писал(а):
Для неотрицательных a,b,c при $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ доказать неравенство:

Т.е. из условия следует, что одновременно две переменных не могут быть больше 2. Больше двух может быть только самая большая переменная. Отсюда формируем область определения переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение25.04.2016, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13758
А, точно. Ведь ещё есть $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение27.04.2016, 03:30 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
Здесь, мне кажется, вот какая неприятная штука происходит: усиленное неравенство определено только когда $4-a-c-a\sqrt c\ge -\frac {25} {24}$, иначе под корнем отрицательное число. Но, это сужает исходную область определения, скажем, точка $a=c=2$ допустима для исходного неравенства, но, не для усиленного.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение27.04.2016, 13:16 


03/03/12
1266
waxtep, да, верно, область сужается. Поняла. Спасибо.

-- 27.04.2016, 15:02 --

Ещё есть вопрос.

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

Здесь $f'_b\le0$. Следовательно функция не возрастает. Тогда минимум будет при $b=a$? Если так, то он достигается на суженной области? Если так, то сужение области несущественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение27.04.2016, 18:19 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
TR63 в сообщении #1118610 писал(а):
Следовательно функция не возрастает.

Т.е. получается, что при фиксированных $a,c$ фунция убывает с ростом $b$; но ведь зафиксировав $a,c$, мы, тем самым, фиксируем и $b$! Т.е. исследование поведения функции по $b$, к сожалению, здесь ничего не дает, т.к. допустима ровно одна точка. Если идти таким путем, видимо, надо зафиксировать только одно из $a,c$, и смотреть, что будет при (зависимом) изменении двух оставшихся переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение27.04.2016, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11865
Казань
если уж нравятся производные, почему бы не рассматривать задачу на условный экстремум? Там есть вполне симметричные методы. Хотя это, конечно, читерство :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение28.04.2016, 00:43 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
provincialka в сообщении #1118744 писал(а):
Хотя это, конечно, читерство :-)

У меня эта "любовь", честно говоря, исключительно от скудости арсенала. В школе и институте, мне, почему-то, неравенства казались дико неинтересными (вовсе не от того, что я их умел делать суперски), а сейчас, -цать лет спустся, неожиданно, "проперло" :-) Интересно их преодолевать, "ощущать", рисовать по ним картинки, переоткрывать для себя широко известные специалистам вещи и т.д.
А в том неравенстве уж очень напрашивается тригонометрическая подстановка, без нее, по-моему, в какие-то очень тяжелые дебри заходишь.

-- 28.04.2016, 01:32 --

(Оффтоп)

даже не то, что тяжелые...а вот как в лесу, где растет такая трава, типа осоки, которая является верным признаком того, что кроме нее тут ничего не растет, - ни грибов, ни ягод :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение28.04.2016, 16:07 


03/03/12
1266
waxtep в сообщении #1118716 писал(а):
Т.е. получается, что при фиксированных $a,c$ функция убывает с ростом $b$; но ведь зафиксировав $a,c$, мы, тем самым, фиксируем и $b$!

waxtep, повторю вопрос, т.к., наверно, недостаточно понятно он мною сформулирован:
TR63 в сообщении #1118610 писал(а):
Ещё есть вопрос.

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

Здесь $f'_b\le0$. Следовательно функция не возрастает. Тогда минимум будет при $b=a$?

Здесь $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$.
Я спрашиваю сейчас о минимуме функции f безотносительно к исходной задачи, в которой есть условие на переменные, поскольку мне говорили, что так делать нельзя (может, я объяснение не поняла; хочу уточнить, верно ли это рассуждение).

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение29.04.2016, 00:04 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
TR63 в сообщении #1118978 писал(а):
Я спрашиваю сейчас о минимуме функции f безотносительно к исходной задачи,

Если мы "забываем" о заданной в условии связке $b=4-a-c-\sqrt{abc}$, то да, функция достигнет минимума при максимально возможном $b$. Но как это может помочь? Ведь в условии связка есть. Я, кстати, в последней задаче arqady пытался ровно тот же трюк осуществить, но это все таки некорректно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение29.04.2016, 16:05 


03/03/12
1266
waxtep в сообщении #1119164 писал(а):
Если мы "забываем" о заданной в условии связке $b=4-a-c-\sqrt{abc}$

Уточнение: в условии задана связка
TR63 в сообщении #1118978 писал(а):
Здесь $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$

Теперь мы ищем минимум функции
TR63 в сообщении #1118610 писал(а):

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

с этой связкой.
И он достигается при $b=a$? И это та самая исходная функция. Остаётся доказать, что этот минимум неотрицателен. Идея доказательства этого предложена выше (с помощью $f'_a$). Здесь опять суженная область определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение30.04.2016, 00:11 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
TR63 в сообщении #1119292 писал(а):
И он достигается при $b=a$?
По-моему, так все таки не работает. Здесь можно рассуждать геометрически: вот мы "сидим" в какой-то точке $(a_0,b_0,c_0)$ и хотим посмотреть, что будет с функцией, когда мы из этой точки сдвигаемся вдоль направления оси $Ob$. Если бы связки не было, мы могли бы независимо двигаться в любом направлении, т.е. искать (безусловный) минимум функции во всей трехмерной области $(a,b,c)$. Но, у нас есть связка, задающая двумерную поверхность, только в пределах которой мы можем двигаться при поиске (теперь уже, условного) минимума. Здесь, перемещаясь вдоль $b$, мы неизбежно сдвигаемся и в перпендикулярной $Ob$ плоскости, поскольку заданная поверхность как-то изогнута, и прямые, параллельные $Ob$, ей в данном случае не принадлежат. А от этого смещения "поперек" так же зависит и значение функции, поскольку изменится не только значение $b$, но и $a$ и/или $c$. Например, если мы зафиксируем $a=a_0$ и сдвинемся из $b_0$ в какое-нибудь $b_1$, то, в общем случае, уже не будет выполняться $c=c_0$, координата $c$ так же "переедет" в некоторое положение $c_1$, заданное уравнением поверхности $a+b+c+\sqrt {abc}=4$. И нам надо будет сравнивать с $f(a_0,b_0,c_0)$ значение не $f(a_0,b_1,c_0)$, а $f(a_0,b_1,c_1)$.

Алгебраически это означает, что, при фиксированном значении $a$, значение $c$ зависит от $b$, т.е. $c=c(b)$, и при дифференцировании по $b$ так же необходимо брать частную производную по $c$, по правилу сложной функции: $$\frac {df} {db}=\frac {\partial f} {\partial b}+\frac {\partial f}{\partial c}\frac {dc}{db}$$ Если хотите, посмотрите, будет ли что-то интересное на этом пути по сравнению с "лобовым" применением метода неопределенных множителей.

-- 30.04.2016, 00:25 --

Че-то ужасно длинно получилось, прошу прощения. Коротко: для определения монотонности убывания $f$ по $b$ недостаточно $\frac {\partial f} {\partial b}<0$; но, например, можно установить, что $f$ убывает по $b$ при $a=\operatorname{const}$, если $\frac {df} {db}=\frac {\partial f} {\partial b}+\frac {\partial f}{\partial c}\frac {dc}{db}<0$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение30.04.2016, 06:08 
Аватара пользователя


07/01/16
893
Аязьма
TR63 в сообщении #1119292 писал(а):
И он достигается при $b=a$? И это та самая исходная функция.
Тут я задумался, что, возможно, отвечаю не на тот вопрос, который Вы задали... Если Вас интересует значение $b$, при котором $f$ достигает минимума для фиксированных $a,c$, и при условиях $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$, но, без связки на $a,b,c$ в виде равенства, то, ответ такой: минимум будет достигаться при $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})$. Например, для $a=1, c=2$ это будет точка $b=\frac 1 2$, а для $a=c=2$ - точка $b=0$ (единственная допустимая при таких $a,c$ точка). Т.е. в общем случае неверно, что минимум достигается при $b=a$, поскольку точка $b=a$ может быть вообще недопустима при данных $a,c$ из-за ограничения $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство 3(а)
Сообщение30.04.2016, 10:09 


03/03/12
1266
waxtep в сообщении #1119408 писал(а):
Если Вас интересует значение $b$, при котором $f$ достигает минимума для фиксированных $a,c$, и при условиях $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$, но, без связки на $a,b,c$ в виде равенства, то, ответ такой: минимум будет достигаться при $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})$.

Согласна. Всё понятно. (Именно это меня интересует.) Теперь я вижу, надо сделать ещё одно уточнение для области определения, чтобы минимум достигался в точке $b=a$, а именно: надо добавить условие $a+c\le4$. Тогда минимум достигается в точке $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})=a$. Исходная же функция не меньше рассматриваемой. Рассматриваемая неотрицательна, следовательно и исходная неотрицательна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group