неравенство 3(а)

[TR63]

Решаю неравенство из "Олимпиадного раздела". Получается что-то совсем подозрительно просто. Прошу проверить, есть ли ошибки.
Для неотрицательных a,b,c при $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ доказать неравенство:

$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24b+25}+\sqrt{24c+25}\ge21$

$b\le a\le c$, $1\le c\le4$, $b\le a\le2$

$b=4-a-c-\sqrt{abc}\ge4-a-c-a\sqrt c$

Будем решать усиленное неравенство:

$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-a\sqrt c)+25}+\sqrt{24c+25}\ge21$

$f'_a=12[\frac{1}{\sqrt{24a+25}}-\frac{1+\sqrt c}{\sqrt{24(4-a-c-a\sqrt c)+25}}]$

$f'_a(a;c=1)=12[\frac{1}{\sqrt{24a+25}}-\frac{2}{\sqrt{24(3-2a) +25}}]\le0$ при $0\le a\le2$, т.к. при $a=0$ верно. Далее при увеличении переменной (a) значение выражения уменьшается и потому не может стать положительным. При $c>1$ знаменатель уменьшается, числитель увеличивается, дробь увеличивается, разность уменьшается. Т.е. частная производная не может быть положительной, т.к., если допустить, что существует $(a_i;c_i)$, где она положительна, получим противоречие. В точке $(a_i;1)$ не положительна. Далее при увеличении переменной (c) тоже, т.к. разность уменьшается.
Верно ли, что тогда достаточно усиленное неравенство доказать при $a=0$, $a=c$?

[gris]

Вопрос: почему $a \leqslant 2$?
Может быть это не существенно далее, но как-то сразу споткнулся.
Ведь у Вас $b \leqslant a \leqslant c $

[TR63]

Если $a>2$, тогда получаем,что $c\ge2$. Тогда не выполняется условие:

TR63 в сообщении #1118088 писал(а):

Для неотрицательных a,b,c при $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ доказать неравенство:

Т.е. из условия следует, что одновременно две переменных не могут быть больше 2. Больше двух может быть только самая большая переменная. Отсюда формируем область определения переменных.

[gris]

А, точно. Ведь ещё есть $c$.

[waxtep]

Здесь, мне кажется, вот какая неприятная штука происходит: усиленное неравенство определено только когда $4-a-c-a\sqrt c\ge -\frac {25} {24}$, иначе под корнем отрицательное число. Но, это сужает исходную область определения, скажем, точка $a=c=2$ допустима для исходного неравенства, но, не для усиленного.

[TR63]

waxtep, да, верно, область сужается. Поняла. Спасибо.

-- 27.04.2016, 15:02 --

Ещё есть вопрос.

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

Здесь $f'_b\le0$. Следовательно функция не возрастает. Тогда минимум будет при $b=a$? Если так, то он достигается на суженной области? Если так, то сужение области несущественно.

[waxtep]

TR63 в сообщении #1118610 писал(а):

Следовательно функция не возрастает.

Т.е. получается, что при фиксированных $a,c$ фунция убывает с ростом $b$; но ведь зафиксировав $a,c$, мы, тем самым, фиксируем и $b$! Т.е. исследование поведения функции по $b$, к сожалению, здесь ничего не дает, т.к. допустима ровно одна точка. Если идти таким путем, видимо, надо зафиксировать только одно из $a,c$, и смотреть, что будет при (зависимом) изменении двух оставшихся переменных.

[provincialka]

если уж нравятся производные, почему бы не рассматривать задачу на условный экстремум? Там есть вполне симметричные методы. Хотя это, конечно, читерство

[waxtep]

provincialka в сообщении #1118744 писал(а):

Хотя это, конечно, читерство

У меня эта "любовь", честно говоря, исключительно от скудости арсенала. В школе и институте, мне, почему-то, неравенства казались дико неинтересными (вовсе не от того, что я их умел делать суперски), а сейчас, -цать лет спустся, неожиданно, "проперло" Интересно их преодолевать, "ощущать", рисовать по ним картинки, переоткрывать для себя широко известные специалистам вещи и т.д.
А в том неравенстве уж очень напрашивается тригонометрическая подстановка, без нее, по-моему, в какие-то очень тяжелые дебри заходишь.

-- 28.04.2016, 01:32 --

(Оффтоп)

даже не то, что тяжелые...а вот как в лесу, где растет такая трава, типа осоки, которая является верным признаком того, что кроме нее тут ничего не растет, - ни грибов, ни ягод

[TR63]

waxtep в сообщении #1118716 писал(а):

Т.е. получается, что при фиксированных $a,c$ функция убывает с ростом $b$; но ведь зафиксировав $a,c$, мы, тем самым, фиксируем и $b$!

waxtep, повторю вопрос, т.к., наверно, недостаточно понятно он мною сформулирован:

TR63 в сообщении #1118610 писал(а):

Ещё есть вопрос.

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

Здесь $f'_b\le0$. Следовательно функция не возрастает. Тогда минимум будет при $b=a$?

Здесь $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$.
Я спрашиваю сейчас о минимуме функции f безотносительно к исходной задачи, в которой есть условие на переменные, поскольку мне говорили, что так делать нельзя (может, я объяснение не поняла; хочу уточнить, верно ли это рассуждение).

[waxtep]

TR63 в сообщении #1118978 писал(а):

Я спрашиваю сейчас о минимуме функции f безотносительно к исходной задачи,

Если мы "забываем" о заданной в условии связке $b=4-a-c-\sqrt{abc}$, то да, функция достигнет минимума при максимально возможном $b$. Но как это может помочь? Ведь в условии связка есть. Я, кстати, в последней задаче arqady пытался ровно тот же трюк осуществить, но это все таки некорректно

[TR63]

waxtep в сообщении #1119164 писал(а):

Если мы "забываем" о заданной в условии связке $b=4-a-c-\sqrt{abc}$

Уточнение: в условии задана связка

TR63 в сообщении #1118978 писал(а):

Здесь $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$

Теперь мы ищем минимум функции

TR63 в сообщении #1118610 писал(а):

$f=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}-21$

с этой связкой.
И он достигается при $b=a$? И это та самая исходная функция. Остаётся доказать, что этот минимум неотрицателен. Идея доказательства этого предложена выше (с помощью $f'_a$). Здесь опять суженная область определения?

[waxtep]

TR63 в сообщении #1119292 писал(а):

И он достигается при $b=a$?

По-моему, так все таки не работает. Здесь можно рассуждать геометрически: вот мы "сидим" в какой-то точке $(a_0,b_0,c_0)$ и хотим посмотреть, что будет с функцией, когда мы из этой точки сдвигаемся вдоль направления оси $Ob$. Если бы связки не было, мы могли бы независимо двигаться в любом направлении, т.е. искать (безусловный) минимум функции во всей трехмерной области $(a,b,c)$. Но, у нас есть связка, задающая двумерную поверхность, только в пределах которой мы можем двигаться при поиске (теперь уже, условного) минимума. Здесь, перемещаясь вдоль $b$, мы неизбежно сдвигаемся и в перпендикулярной $Ob$ плоскости, поскольку заданная поверхность как-то изогнута, и прямые, параллельные $Ob$, ей в данном случае не принадлежат. А от этого смещения "поперек" так же зависит и значение функции, поскольку изменится не только значение $b$, но и $a$ и/или $c$. Например, если мы зафиксируем $a=a_0$ и сдвинемся из $b_0$ в какое-нибудь $b_1$, то, в общем случае, уже не будет выполняться $c=c_0$, координата $c$ так же "переедет" в некоторое положение $c_1$, заданное уравнением поверхности $a+b+c+\sqrt {abc}=4$. И нам надо будет сравнивать с $f(a_0,b_0,c_0)$ значение не $f(a_0,b_1,c_0)$, а $f(a_0,b_1,c_1)$.

Алгебраически это означает, что, при фиксированном значении $a$, значение $c$ зависит от $b$, т.е. $c=c(b)$, и при дифференцировании по $b$ так же необходимо брать частную производную по $c$, по правилу сложной функции:

$$\frac {df} {db}=\frac {\partial f} {\partial b}+\frac {\partial f}{\partial c}\frac {dc}{db}$$

Если хотите, посмотрите, будет ли что-то интересное на этом пути по сравнению с "лобовым" применением метода неопределенных множителей.

-- 30.04.2016, 00:25 --

Че-то ужасно длинно получилось, прошу прощения. Коротко: для определения монотонности убывания $f$ по $b$ недостаточно $\frac {\partial f} {\partial b}<0$; но, например, можно установить, что $f$ убывает по $b$ при $a=\operatorname{const}$, если $\frac {df} {db}=\frac {\partial f} {\partial b}+\frac {\partial f}{\partial c}\frac {dc}{db}<0$

[waxtep]

TR63 в сообщении #1119292 писал(а):

И он достигается при $b=a$? И это та самая исходная функция.

Тут я задумался, что, возможно, отвечаю не на тот вопрос, который Вы задали... Если Вас интересует значение $b$, при котором $f$ достигает минимума для фиксированных $a,c$, и при условиях $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$, но, без связки на $a,b,c$ в виде равенства, то, ответ такой: минимум будет достигаться при $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})$. Например, для $a=1, c=2$ это будет точка $b=\frac 1 2$, а для $a=c=2$ - точка $b=0$ (единственная допустимая при таких $a,c$ точка). Т.е. в общем случае неверно, что минимум достигается при $b=a$, поскольку точка $b=a$ может быть вообще недопустима при данных $a,c$ из-за ограничения $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$.

[TR63]

waxtep в сообщении #1119408 писал(а):

Если Вас интересует значение $b$, при котором $f$ достигает минимума для фиксированных $a,c$, и при условиях $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$, но, без связки на $a,b,c$ в виде равенства, то, ответ такой: минимум будет достигаться при $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})$.

Согласна. Всё понятно. (Именно это меня интересует.) Теперь я вижу, надо сделать ещё одно уточнение для области определения, чтобы минимум достигался в точке $b=a$, а именно: надо добавить условие $a+c\le4$. Тогда минимум достигается в точке $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})=a$. Исходная же функция не меньше рассматриваемой. Рассматриваемая неотрицательна, следовательно и исходная неотрицательна.