Пусть известно, что
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- быстро убывает со всеми производными на бесконечности, и что она - бесконечно гладкая везде, кроме одной точки (неизвестно, где расположенной). Как по преобразованию Фурье функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
определить, что она имеет разрыв первого рода? Где и какой величины?
Есть так же модификации задачи - определить, что она имеет излом (скачок производной), но наверное с разрывом проще. Быстрое убывание производных на бесконечности, я думаю можно считать в смысле функций из класса
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
(которые Фурье переводит в себя). Однако функция не из этого класса.
Есть ли смысл применять обратное преобразование Фурье? С его помощью можно восстановить исходную функцию, если она из
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
, или, если она удовлетворяет в точке
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
условию Дини (тогда интеграл надо брать в смысле главного значения - как предел собственных). Но будет ли функция из условия ему удовлетворять? И даже если да, разве у нас не получится в результате обратного преобразования непрерывная модификация
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
?