По преобразованию Фурье сделать выводы о разрыве функции

[Sul]

Пусть известно, что $f$ - быстро убывает со всеми производными на бесконечности, и что она - бесконечно гладкая везде, кроме одной точки (неизвестно, где расположенной). Как по преобразованию Фурье функции $f$ определить, что она имеет разрыв первого рода? Где и какой величины?

Есть так же модификации задачи - определить, что она имеет излом (скачок производной), но наверное с разрывом проще. Быстрое убывание производных на бесконечности, я думаю можно считать в смысле функций из класса $S$ (которые Фурье переводит в себя). Однако функция не из этого класса.

Есть ли смысл применять обратное преобразование Фурье? С его помощью можно восстановить исходную функцию, если она из $S$, или, если она удовлетворяет в точке $x$ условию Дини (тогда интеграл надо брать в смысле главного значения - как предел собственных). Но будет ли функция из условия ему удовлетворять? И даже если да, разве у нас не получится в результате обратного преобразования непрерывная модификация $f$?

[Munin]

Как будет устроена производная $f'$? На какие составляющие её можно разложить? Как будут выглядеть образы Фурье от одного и другого слагаемого? Как связаны образы производной и первообразной?

[ewert]

Sul в сообщении #1119110 писал(а):

Как по преобразованию Фурье функции $f$ определить, что она имеет разрыв первого рода? Где и какой величины?

Преобразование Фурье переводит гладкость функции в убывание на бесконечности и наоборот.

Возьмите какую-нибудь функцию с разрывам 1-го рода, а в остальном гладкую, и посчитайте её Фурье-образ. Главный член асимптотики образа на бесконечности в соотношении к скачку исходной функции не будет зависеть от поведения той функции в остальных точках. Тем самым Вы сможете восстанавливать величину скачка по "амплитуде" главного члена образа.

Что же касается "где", то оно аналогично восстанавливается по "фазе" главного члена асимптотики (ПФ переводит сдвиг в умножение на комплексную экспоненту и наоборот).

[Sul]

Главный член асимптотики - это линейная часть разложения в формулу Тейлора функции $f(1/x)$ в нуле? И даже если да, то поясните, пожалуйста, предложение "Главный член асимптотики образа на бесконечности в соотношении к скачку исходной функции не будет зависеть от поведения той функции в остальных точках."...И, собственно, очевидно ли это, или все же надо воспользоваться какими-то фактами для доказательства, кроме формул для производной Фурье

[arseniiv]

Давайте ещё прямее: каков образ Фурье функции Хевисайда?

[Sul]

arseniiv в сообщении #1119221 писал(а):

Давайте ещё прямее: каков образ Фурье функции Хевисайда?

Вроде бы $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{x-i0} $, но как это может помочь?

[Munin]

И какой здесь главный член асимптотики на бесконечности?

[Sul]

Интуиция подсказывает что 1/x, но как он для произвольной функции определяется?

[Munin]

Следующий шаг. Сложите эту функцию Хэвисайда с непрерывной функцией. Что станет с Фурье-образом?

[Sul]

Прибавится фурье хэвисайда

[Munin]

А у другого слагаемого какая будет асимптотика на бесконечности?

[Sul]

Я не понимаю определения поэтому не могу сказать. К тому же это слагаемое в нашем случае уже не будет интегрируемым и его фурье можно только в обобщенном смысле понимать

[Munin]

Да, в обобщённом. Фурье тем и интересно, что превращает обобщённые функции в обычные и обратно.

[Sul]

И все же как определить асимтотику?

[Munin]

В смысле, как дать определение, или как вычислить?