Угловая скорость твердого тела вокруг главных осей инерции

[_genius_]

Munin

Цитата:

имели другие данные - скорей всего, непосредственно эти самые угловые скорости

Да-да, я тоже об этом подумал.

Цитата:

Извлечь их из того, что имеете вы, невозможно.

И об этом тоже, печально если так.
svv
Дико извиняюсь, я сказал "коллинеарны", а имел в виду "компланарны", отредактировал предыдущее сообщение.

Цитата:

$\mathbf v_1=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$

Разве это верно даже для скоростей, не перпендикулярных к "своим" радиус-векторам? По-моему нет.
Поэтому я и спрашиваю, можно ли получить векторы-проекции этих скоростей ($\vec{v'}$), которые уже будут перпендикулярны радиус-векторам (но при этом будут компланарны как друг с другом, так и с обычными скоростями без штриха). Для них это равенство будут выполняться.

[OlegML]

_genius_ в сообщении #1118506 писал(а):

Возможно ли в принципе её получить если в наличии имеются массы, линейные скорости и координаты всех точек (их немного, всего 3)? Целый день и всю ночь искал решение - не нашел. К глубочайшему сожалению векторное произведение необратимо, зато проверить правильность будет очень легко ($\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}$).
P.S.: Перенести начало координат в центр масс не проблема, поэтому, если удобнее, считайте, что скорости и координаты уже даны в СО относительно неподвижного центра масс.
P.P.S.: Если главные оси инерции не совпадают с осями координат, что скорее всего так и есть, неплохо бы также узнать, как получить соответствующую матрицу поворота.
P.P.P.S.: Если я не в тот раздел обращаюсь, перенесите куда следует.

Если можно я общими штрихами. Угловое ускорение частично выражается из приведенной формулы после векторного умножения уравнения на радиус вектор. После домножения на массы и суммирования по всем частицам (телам) получим вектор углового момента как произведение тензора инерции на вектор угловой скорости. Получаем в результате вектор угловой скорости как произведение обратного тензора инерции на вектор углового момента.
Матрица поворота получается в результате диагонализации тензора инерции.

[svv]

_genius_ в сообщении #1118845 писал(а):

Цитата:

$\mathbf v_1=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$

Разве это верно даже для скоростей, не перпендикулярных к "своим" радиус-векторам?

Да. Это общая формула для любой точки твердого тела (при условии, что начало координат находится на мгновенной оси вращения). См., например, здесь.

[_genius_]

svv
Тогда это ещё хуже. Выходит что невозможно сказать, какая часть $\mathbf v_1$ относительно центра масс приходится на вращение (т.е. то самое $\mathbf v_1=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$), а какая – на вибрации. На момент создания темы я не понимал весь ужас этой проблемы, а теперь понимаю и вижу что она неразрешима.

-- Чт апр 28, 2016 16:46:30 --

Напоследок поясню почему я решил что это невозможно на маленьком симметричненьком примере:
Пусть у нас всего 2 молекулы и из-за вибраций линейные скорости "поганятся" следующим образом:

Моей последней надеждой было предположение, что без вибраций скорости могут выглядеть только так, т.е. ровно перпендикулярно к радиус-векторам:

Однако теперь я понимаю что такой

и вот такой

и ещё 1000 и 1 промежуточный вариант тоже возможны. И определить какой из них правильный никак нельзя.

[Munin]

Ну, из ваших чертежей, очевидно, последние не удовлетворяют условию "без вибрации".

-- 28.04.2016 17:07:08 --

Идея. После того, как нашли центр масс, можно все скорости в с.ц.м. разложить на радиальные и поперечные составляющие.

Хотя это ни хрена не поможет против поперечных вибраций. В мусор идею.

-- 28.04.2016 17:11:24 --

В принципе, из тензора инерции и суммарного момента импульса можно вычислить "суммарную угловую скорость". Поскольку $M_i=I_{ik}\omega_k,$ то $\omega_k=I^{-1}_{ik}M_i.$

[_genius_]

Munin
Даже если так, легче от этого не становится, вариантов все равно бесконечное множество.

Цитата:

В принципе, из тензора инерции и суммарного момента импульса можно вычислить "суммарную угловую скорость"

Если хотите, можете попробовать. Тут все координаты, скорости и ускорения даны относительно абсолютного начала координат, а не центра масс. Масса водорода 1.008 u, кислорода 15.999 u.
http://rghost.net/6DRtmydZl вот тут я кидал расчет переноса в ЦМ. Могу ещё сбросить .mw (Maple) со своими экспериментами.
Atom coordinates (Angstrom):
0.106742566843715D+02 0.183132154195361D+02 0.130279385092307D+02 H
0.109474996754764D+02 0.195877251072343D+02 0.122522180562628D+02 H
0.105208558722306D+02 0.186950397511534D+02 0.121478951873808D+02 O
Atom velocities (Angstrom/s):
0.113245663078401D+13 -0.115005209726868D+12 0.150768836809798D+14 H
-0.149605574574432D+14 0.276593473313469D+14 0.223119886269877D+14 H
0.706014913985828D+13 -0.391234491329691D+13 -0.623197721133109D+13 O
Atom accelerations (Angstrom/s**2):
-0.217190286761545D+27 0.192506533767787D+28 -0.302494210081986D+28 H
-0.534178912860164D+28 -0.843931301789102D+28 -0.507648500392644D+28 H
0.462498756019456D+27 0.546833512362334D+27 0.756271091852482D+27 O

[Dmitriy40]

А проинтегрировать по времени нет возможности? Пусть даже симуляцию будущего движения? При интегрировании все компоненты вибрации обнулятся и останутся лишь линейное перемещение центра масс и вращения. Которые можно посчитать постоянными и получить вибрации как мгновенные поправки к глобальным движениям. Конечно это уже идеализация. И ещё понадобится дополнительная информация о силе притяжения атомов.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1119007 писал(а):

Если хотите, можете попробовать.

Зачем? Пробовать вы будете. Для начала посчитайте $\mathbf{M}=\sum m[\mathbf{rv}]$ (три числа) и $I_{ik}=\sum m(x_l x_l \delta_{ik}-x_i x_k)$ (6 чисел). Разумеется, всё уже в с.ц.м. Потом надо будет взять обратную матрицу $I^{-1}_{ik}.$

[_genius_]

Dmitriy40
Есть возможность, но тогда ведь получится усредненная скорость, а не мгновенная. Сравнение её с отдельно взятой мгновенной, в любом случае дало бы какие-то отклонения, даже без вибраций. Или я не понял вашу идею.
Munin
К сожалению сейчас мне нужно написать ещё кучу других вещей, а тут надо ещё неделю сидеть и то далеко не факт, что в итоге получится. Может это и правда невозможно.

[madschumacher]

_genius_ в сообщении #1118725 писал(а):

Цитата:

Так это не имеет ничего общего с тем, что вы тут произносили выше.

Так-таки и ничего?

Я выделил то, что вызвало трудности, остальное тривиально. Но если вам так интересна задача в целом, пожалуйста, могу рассказать, ничего секретного тут нет.
$\vec{v}_j = \vec{v}^{CM}_{l} + \vec{\omega_j}\times\vec{r_j} + \vec{v}^{vib}_{j}$
У меня есть то что слева, а надо то что справа.

http://rghost.net/6DRtmydZl xlsx с начальными данными и переносом СО в центр масс.

А для молекулки воды Вам вот это (https://en.wikipedia.org/wiki/Eckart_conditions) не подойдет ли?

[_genius_]

madschumacher
Я боюсь что у меня банально нет таких данных.

[Dmitriy40]

_genius_ в сообщении #1119017 писал(а):

но тогда ведь получится усредненная скорость, а не мгновенная.

Разумеется, в этом и смысл, получить макропараметры движения тела, без учёта вибраций.

_genius_ в сообщении #1119017 писал(а):

Сравнение её с отдельно взятой мгновенной, в любом случае дало бы какие-то отклонения, даже без вибраций.

А вот тут нет, откуда возьмутся отклонения?! Внешних-то сил не действует, тело движется как единое целое, никаких отклонений (кроме вибраций) быть не должно, в этом и идея.

Т.е. волевым решением объявляем движение тела равномерным (плюс равномерное вращение), а все мгновенные отклонения списываем на вибрации. Не знаю насколько это правомерно.

Правда я похоже забыл оговорить ещё важное условие малости вибраций относительно макродвижений тела. Иначе макродвижением уже не будет перемещение с вращением. Но для твёрдого тела это надеюсь выполняется автоматически?

В общем выходит это не более чем идея.

[madschumacher]

А можно пару уточняющих вопросов:
1. в каком формате даны данные (траектория?, т.е. положения атомов + скорости в некоторой системе координат)?
2. Вам задачу нужно численно сделать, т.е. в каждой точке траектории посчитать скорость Ц.М., вращения и колебания для каждого атома, или как-то иначе?

[_genius_]

madschumacher
1. да и ещё плюс ускорения
2. да, скорость цм и вращения каждой молекулы + колебания каждого атома.

-- Чт апр 28, 2016 18:26:26 --

Dmitriy40

Цитата:

А вот тут нет, откуда возьмутся отклонения

Т.е. как это откуда? Средняя скорость это ведь как средняя температура по больнице. К примеру средняя скорость 0 не означает что тело покоится. Может оно сначала летело в одну сторону, а потом развернулось. Сравнение средней скорости с мгновенной всегда даст отклонения.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1119017 писал(а):

а тут надо ещё неделю сидеть и то далеко не факт

Если для вас это "неделю сидеть", а не "за четверть часа всё посчитать в Maple" (который вам доступен), то действительно, ситуация грустная.