Угловая скорость твердого тела вокруг главных осей инерции

[_genius_]

Возможно ли в принципе её получить если в наличии имеются массы, линейные скорости и координаты всех точек (их немного, всего 3)? Целый день и всю ночь искал решение - не нашел. К глубочайшему сожалению векторное произведение необратимо, зато проверить правильность будет очень легко ($\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}$).
P.S.: Перенести начало координат в центр масс не проблема, поэтому, если удобнее, считайте, что скорости и координаты уже даны в СО относительно неподвижного центра масс.
P.P.S.: Если главные оси инерции не совпадают с осями координат, что скорее всего так и есть, неплохо бы также узнать, как получить соответствующую матрицу поворота.
P.P.P.S.: Если я не в тот раздел обращаюсь, перенесите куда следует.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: в подходящий раздел.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118506 писал(а):

Угловая скорость твердого тела вокруг главных осей инерции

А что это такое?

Угловая скорость - вектор. Её можно найти.

Главные оси инерции - это три прямых. Их тоже можно найти.

А вот что такое это "вокруг"?

[_genius_]

Ой, да называйте как хотите, вы же понимаете, что я имею в виду. Я просто уже давно не читал на русском.

Цитата:

Её можно найти.

Цитата:

Их тоже можно найти.

И как это сделать? Достаточно ли имеющихся данных?

-- Ср апр 27, 2016 15:25:20 --

Меня вот что смущает: по идее в центре масс никаких моментов действовать не должно, на то он и неподвижен. Значит через него и должны проходить оси инерции. Но у меня почему-то в итоге получаются разные угловые скорости у точек, а это значит что либо я ошибся, либо центр масс-таки движется.

[arseniiv]

_genius_ в сообщении #1118626 писал(а):

Но у меня почему-то в итоге получаются разные угловые скорости у точек, а это значит что либо я ошибся, либо центр масс-таки движется.

Либо данные точки не могут быть точками твёрдого тела. Например, проверьте, компланарны ли все три скорости.

[_genius_]

В мапле нарисовал ситуацию (0 в центре масс), скорости разумеется скалированы чтобы того же порядка были что и радиус-вектора.

[arseniiv]

Вообще, $\vec\omega\times{}$ — это линейный оператор, и его можно, например, просто найти, если $\vec r_i$ образуют базис. Компоненты оператора в этом базисе будут компонентами всех $\vec v_i$ там же. Можно сразу же будет проверить, «правильный» ли (c кососимметричной матрицей) получается оператор или скорректировать возможные численные ошибки, найдя наиболее близкий к нему «правильный». После чего компоненты $\vec\omega$ (всё в том же базисе) вычисляется простейше.

[_genius_]

Цитата:

Либо данные точки не могут быть точками твёрдого тела. Например, проверьте, компланарны ли все три скорости.

Боюсь что не компланарны. Смешанное произведение далеко не нуль. Значит в таком случае угловую скорость найти в принципе невозможно? Выходит что это косяк/особенность симуляции.

-- Ср апр 27, 2016 16:23:28 --

Вот кстати, радиус-вектора-то вполне себе компланарны. Но толку от этого как я понимаю нет. Скорее наоборот, ведь базис они точно не образуют.

[arseniiv]

_genius_ в сообщении #1118650 писал(а):

Вот кстати, радиус-вектора-то вполне себе компланарны. Но толку от этого как я понимаю нет. Скорее наоборот, ведь базис они точно не образуют.

В некоторых случаях можно обойтись и без такого хорошего способа. Представьте, что выбранные точки лежат на вращающейся вокруг своего центра в своей плоскости окружности — тогда данных вполне хватит, чтобы найти угловую скорость. Кажется. Общий метод для таких случаев и границы его применимости привести сейчас не смогу, так что не буду подавать вам ложных надежд.

[svv]

Так как вектор линейной скорости перпендикулярен вектору угловой, угловую можно найти векторным произведением двух линейных. Оговорки:
1) Результат получится с точностью до скалярного множителя, но это уже легче.
2) Линейные скорости должны быть неколлинеарны.
3) Линейные скорости должны быть компланарны, иначе разные пары будут давать разное направление вектора.

[_genius_]

Пардон, все-таки скорости компланарны. Я сейчас их из нуля изобразил и убедился. Смешанное произведение было таким большим из-за численных погрешностей и порядка самих скоростей.

Отмасштабировал чтобы удобнее было смотреть.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118626 писал(а):

Ой, да называйте как хотите, вы же понимаете, что я имею в виду.

Нет, мы не понимаем. Мы не телепаты.

_genius_ в сообщении #1118626 писал(а):

Я просто уже давно не читал на русском.

Можете объяснить нам на английском, тогда мы быстрее поймём. (Если честно, мы понимаем кое-что даже на украинском. А вот на казахском - вряд ли.)

_genius_ в сообщении #1118626 писал(а):

И как это сделать?

Открыть учебник, и посмотреть определение.

В данном случае, сначала придётся посчитать весь тензор инерции:

$$I_{ik}=\mathop{\textstyle\sum}m(x_l x_l \delta_{ik}-x_i x_k),$$

а потом приводить его к главным осям.

Но всё-таки, что вам нужно в конце концов - вам придётся объяснить.

[_genius_]

svv
Сейчас вот сделал как вы сказали и поначалу все было хорошо, т.е. все три возможных произведения коллинеарны.

Но проверку они почему-то не прошли. Их произведение с радиус-вектором должно быть коллинеарно с соответствующей линейной скоростью, однако это не так.



Munin
У меня есть массы, координаты, скорости (и ускорения, но я думаю они не пригодятся) атомов молекул воды в коробочке, нужно разделить линейную скорость атомов на поступательное движение центра масс молекулы и вращательное движение вокруг него.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118698 писал(а):

У меня есть массы, координаты, скорости (и ускорения, но я думаю они не пригодятся) атомов молекул воды в коробочке, нужно разделить линейную скорость атомов на поступательное движение центра масс молекулы и вращательное движение вокруг него.

Так это не имеет ничего общего с тем, что вы тут произносили выше.

Давайте-ка с самого начала, какое у вас задание, и без упрощений.

[_genius_]

Цитата:

Так это не имеет ничего общего с тем, что вы тут произносили выше.

Так-таки и ничего?

Я выделил то, что вызвало трудности, остальное тривиально. Но если вам так интересна задача в целом, пожалуйста, могу рассказать, ничего секретного тут нет.
$\vec{v}_j = \vec{v}^{CM}_{l} + \vec{\omega_j}\times\vec{r_j} + \vec{v}^{vib}_{j}$
У меня есть то что слева, а надо то что справа.
Скорость атома j относительно общей СО состоит из скорости центра масс молекулы, вращения молекулы вокруг него (полагая что молекула твердое тело) и незначительных вибраций связей. Первый элемент посчитать легко, про второй я тут спрашиваю, а последний можно узнать только вычитанием первых двух из общей суммы.

-- Ср апр 27, 2016 18:51:36 --

http://rghost.net/6DRtmydZl xlsx с начальными данными и переносом СО в центр масс.