Просто скажите, где именно вы используете спектральную теорему. Пока что было названо только одно место и с ним не понятно, зачем там эта теорема применяется.
Ну формально говоря в том, что эти контурные интегралы будут ортогональными проекторами с нужными свойствами: т. е. что они проектируют на подпространства, инвариантные относительно

, и сужение оператора

на соответствующее подпространство близко по операторной норме к оператору умножения на

.
На самом деле, если подумать
1) Тот факт, что они являются проекторами, коммутирующими с

, — верен и в несамосопряженном случае, поэтому спектральная теорема не нужна (см. Като, раздел I.5.4).
2) Тот факт, что это ортогональные проекторы, следует из самосопряженности

(так же, как и их взаимная ортогональность друг другу).
3) Дальше, пусть

— проектор, построенный с помощью интеграла по контуру

, и

— любая точка внутри этого контура. Я использую тот факт, что

— вот здесь уже нужна спектральная теорема.
Более грубую оценку (и тоже достаточную, если мы не следим за степенями), наверное, можно получить без нее.
Проблема в том, что конечномерная спектральная теорема — не такой сложный факт и фактически следует из первых двух пунктов: спектр оператора

конечен, окружим каждую точку спектра контуром, тогда оператор будет ортогональной суммой самосопряженных операторов, спектр каждого их которых состоит из одной точки. Далее, доказать, что самосопряженный оператор, у которого спектр состоит из одной точки, скалярный.