Дифференциалы высших порядков

[elgala]

Здравствуйте, вопрос совсем наивный и глупый, но что поделать, если такие пробелы есть
В "тензорном исчислении для чайников" есть такая формула:

$s^2 = x^i x_i = x^0 x_0 + x^1 x_1 + x^2 x_2 + x^3 x_3$

И из неё "очевидно", что

$ds^2 = dx^i dx_i = dx^0 dx_0 + dx^1 dx_1 + dx^2 dx_2 + dx^3 dx_3$

(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)

Проблема в том, что мне это неочевидно
Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?

$ds^2 = 2sds ; d(2sds) = 2dsds + 2sd^2 s$

$d(x^0 x_0 + x^1 x_1 + x^2 x_2 + x^3 x_3) = dx^0 x_0 + x^0 dx_0 + dx^1 x_1 + x^1 dx_1 + dx^2 x_2 + x^2 dx_2 + dx^3 x_3 + x^3 dx_3 $,
а ещё раз дифференциал от этой суммы будет
$2dx^0 dx_0 + 2dx^1 dx_1 + 2dx^2 dx_2 + 2dx^3 dx_3$

И тогда
$ds^2 + sd^2 s = dx^0 dx_0 + dx^1 dx_1 + dx^2 dx_2 + dx^3 dx_3$

Так что же, тут подразумевается, что $sd^2 s = 0$?

Вообще я не понимаю этих вторых дифференицалов... просто дифференциал функции $y = f(x)$ будет функцией от x и некоего dx:
$dy(x, dx) = f'(x)dx$ (это понятно), а второй дифференциал - снова почему-то функцией от тех же самых x и dx (а почему не x, dx и какого-нибудь $dx_2$?)
И если произвести замену переменных в дифференциале 2-го порядка, то вообще значение поменяется... как же их тогда используют во всяких физических формулах, вроде указанной вначале? Ведь там и s, и $x_i$ потом выражаются через новую переменную t... короче, я вконец запутался. Пожалуйста, не смейтесь, а подскажите, как же всё-таки "очевидно" выводится та формула, ну и вообще - что такое второй дифференциал, если на то пошло

[Brukvalub]

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

Пожалуйста, не смейтесь, а подскажите, как же всё-таки "очевидно" выводится та формула, ну и вообще - что такое второй дифференциал, если на то пошло

Про второй дифференциал написано в учебниках математического анализа. Какие из них вы читали?

[provincialka]

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

$ds^2 = 2sds $

Как одно соотносится с другим?

[Brukvalub]

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

Проблема в том, что мне это неочевидно

То есть, как вычисляется квадрат длины вектора с числовыми координатами, вы понимаете, а как вычисляется квадрат длины вектора с координатами из дифференциалов - уже "ниасиливаете"?
Эврика! Попробуйте применить к квадрату длины вектора из дифференциалов ту же формулу!!!

[Munin]

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

Проблема в том, что мне это неочевидно :-(
Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?

Всё намного проще. Взяли дифференциал от $x^i=(x^0,x^1,x^2,x^3),$ и получили $dx^i=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3).$ Возвели в квадрат. Никаких вторых дифференциалов не брали.

И если вы пока не освоили матан за 1 курс, читать такие книжки про тензорное исчисление, может быть, рановато.

[elgala]

Brukvalub в сообщении #1117867 писал(а):

Про второй дифференциал написано в учебниках математического анализа. Какие из них вы читали?

Читал разные, сейчас под рукой есть только "Курс высшей математики" Смирнова.

provincialka в сообщении #1117869 писал(а):

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

$ds^2 = 2sds $

Как одно соотносится с другим?

Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Brukvalub, Munin - да, с этим я согласен, что квадрат дифференциала интервала и есть скалярное произведение дифференциала координат на себя. Геометрически, "на пальцах" я это представляю. Мне непонятно, как это можно формально показать из определения интервала $s=x^ix_i$.

[Brukvalub]

Есть правило вычисления квадрата длины вектора. Это правило применили. Что здесь нужно доказывать?

[Munin]

elgala в сообщении #1117902 писал(а):

Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Ну вот это неправильно. $ds^2$ означает $(ds)^2.$ Правильно расставлять скобки вас должны были научить именно на матане.

[Brukvalub]

elgala в сообщении #1117902 писал(а):

Мне непонятно, как это можно формально показать из определения интервала $s=x^ix_i$.

Это не определение интервала, да и неправильно, даже если...

[elgala]

Munin в сообщении #1117914 писал(а):

elgala в сообщении #1117902 писал(а):

Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Ну вот это неправильно. $ds^2$ означает $(ds)^2.$ Правильно расставлять скобки вас должны были научить именно на матане.

Да, плохо написал. Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$? Я прекрасно понимаю, как глупо выглядят мои вопросы, но если бы мог разобраться сам - то не спрашивал бы здесь...

[arseniiv]

elgala в сообщении #1117926 писал(а):

Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$?

Формально говоря, можно. Потому что если можно получить что-то без использования X, то верно, что можно получить его с использованием X. По смыслу же первое в выводе второго некуда запихнуть. Это два равнозначных следствия выражения скалярного произведения в индексах.

[Munin]

elgala в сообщении #1117926 писал(а):

Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$?

Ну а всё-таки, зачем? Зачем рвать зубы через задний проход?

[svv]

elgala в сообщении #1117863 писал(а):

Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?

Вряд ли автор имел в виду такой способ, но при желании можно и так. Для ясности будем вместо дифференциалов использовать производные, ведь понятие второй производной у Вас вопросов не вызывает, верно?

Пусть $\gamma$ — гладкая кривая, заданная параметрически: $t\mapsto x^i(t)$. Выберем некоторое значение параметра $a$. Пусть $s(t)$ — интервал между точками $x^i(a)$ и $x^i(t)$:
$s^2(t)=(x_i(t)-x_i(a))(x^i(t)-x^i(a))$
Продифференцируем это дважды по $t$:

$$2\left(\frac{ds(t)}{dt}\right)^2+2s(t)\frac{d^2 s(t)}{dt^2}=\frac{d^2 x_i(t)}{dt^2}(x^i(t)-x^i(a))+2\frac{dx_i(t)}{dt}\frac{dx^i(t)}{dt}+(x_i(t)-x_i(a))\frac{d^2 x^i(t)}{dt^2}$$

При $t=a$ это с учётом $s(a)=0$ даёт $\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2=\dfrac{dx_i}{dt}\dfrac{dx^i}{dt}$
Теперь $ds^2=dx_i dx^i$ Вы можете понимать как краткую запись того, что для произвольного выбора точки и проходящей через неё кривой верна полученная формула.