2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 11:19 


24/04/16
3
Здравствуйте, вопрос совсем наивный и глупый, но что поделать, если такие пробелы есть :-(
В "тензорном исчислении для чайников" есть такая формула:

$s^2 = x^i x_i = x^0 x_0 + x^1 x_1 + x^2 x_2 + x^3 x_3$

И из неё "очевидно", что

$ds^2 = dx^i dx_i = dx^0 dx_0 + dx^1 dx_1 + dx^2 dx_2 + dx^3 dx_3$

(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)

Проблема в том, что мне это неочевидно :-(
Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?

$ds^2 = 2sds ; d(2sds) = 2dsds + 2sd^2 s$

$d(x^0 x_0 + x^1 x_1 + x^2 x_2 + x^3 x_3) = dx^0 x_0 + x^0 dx_0 + dx^1 x_1 + x^1 dx_1 + dx^2 x_2 + x^2 dx_2 + dx^3 x_3 + x^3 dx_3 $,
а ещё раз дифференциал от этой суммы будет
$2dx^0 dx_0 + 2dx^1 dx_1 + 2dx^2 dx_2 + 2dx^3 dx_3$

И тогда
$ds^2 + sd^2 s = dx^0 dx_0 + dx^1 dx_1 + dx^2 dx_2 + dx^3 dx_3$

Так что же, тут подразумевается, что $sd^2 s = 0$?

Вообще я не понимаю этих вторых дифференицалов... просто дифференциал функции $y = f(x)$ будет функцией от x и некоего dx:
$dy(x, dx) = f'(x)dx$ (это понятно), а второй дифференциал - снова почему-то функцией от тех же самых x и dx (а почему не x, dx и какого-нибудь $dx_2$?)
И если произвести замену переменных в дифференциале 2-го порядка, то вообще значение поменяется... как же их тогда используют во всяких физических формулах, вроде указанной вначале? Ведь там и s, и $x_i$ потом выражаются через новую переменную t... короче, я вконец запутался. Пожалуйста, не смейтесь, а подскажите, как же всё-таки "очевидно" выводится та формула, ну и вообще - что такое второй дифференциал, если на то пошло :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
Пожалуйста, не смейтесь, а подскажите, как же всё-таки "очевидно" выводится та формула, ну и вообще - что такое второй дифференциал, если на то пошло

Про второй дифференциал написано в учебниках математического анализа. Какие из них вы читали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
$ds^2 = 2sds $
Как одно соотносится с другим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
Проблема в том, что мне это неочевидно :-(

То есть, как вычисляется квадрат длины вектора с числовыми координатами, вы понимаете, а как вычисляется квадрат длины вектора с координатами из дифференциалов - уже "ниасиливаете"?
Эврика! Попробуйте применить к квадрату длины вектора из дифференциалов ту же формулу!!! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
Проблема в том, что мне это неочевидно :-(
Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?

Всё намного проще. Взяли дифференциал от $x^i=(x^0,x^1,x^2,x^3),$ и получили $dx^i=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3).$ Возвели в квадрат. Никаких вторых дифференциалов не брали.

И если вы пока не освоили матан за 1 курс, читать такие книжки про тензорное исчисление, может быть, рановато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 13:24 


24/04/16
3
Brukvalub в сообщении #1117867 писал(а):
Про второй дифференциал написано в учебниках математического анализа. Какие из них вы читали?

Читал разные, сейчас под рукой есть только "Курс высшей математики" Смирнова.
provincialka в сообщении #1117869 писал(а):
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
(тут под $ds^2$ явно подразумевается $(ds)^2$)
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
$ds^2 = 2sds $
Как одно соотносится с другим?

Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Brukvalub, Munin - да, с этим я согласен, что квадрат дифференциала интервала и есть скалярное произведение дифференциала координат на себя. Геометрически, "на пальцах" я это представляю. Мне непонятно, как это можно формально показать из определения интервала $s=x^ix_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Есть правило вычисления квадрата длины вектора. Это правило применили. Что здесь нужно доказывать? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
elgala в сообщении #1117902 писал(а):
Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Ну вот это неправильно. $ds^2$ означает $(ds)^2.$ Правильно расставлять скобки вас должны были научить именно на матане.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
elgala в сообщении #1117902 писал(а):
Мне непонятно, как это можно формально показать из определения интервала $s=x^ix_i$.

Это не определение интервала, да и неправильно, даже если...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 14:32 


24/04/16
3
Munin в сообщении #1117914 писал(а):
elgala в сообщении #1117902 писал(а):
Во второй строчке дифференциал от квадрата - то есть $d(s^2) = 2sds$

Ну вот это неправильно. $ds^2$ означает $(ds)^2.$ Правильно расставлять скобки вас должны были научить именно на матане.

Да, плохо написал. Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$? Я прекрасно понимаю, как глупо выглядят мои вопросы, но если бы мог разобраться сам - то не спрашивал бы здесь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 14:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
elgala в сообщении #1117926 писал(а):
Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$?
Формально говоря, можно. Потому что если можно получить что-то без использования X, то верно, что можно получить его с использованием X. По смыслу же первое в выводе второго некуда запихнуть. Это два равнозначных следствия выражения скалярного произведения в индексах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
elgala в сообщении #1117926 писал(а):
Ну а всё-таки, можно ли из $s^2=x^ix_i$ дифференцированием получить $ds^2=dx^idx_i$?

Ну а всё-таки, зачем? Зачем рвать зубы через задний проход?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциалы высших порядков
Сообщение24.04.2016, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
elgala в сообщении #1117863 писал(а):
Возможно, имело место двойное взятие дифференциала от обеих частей?
Вряд ли автор имел в виду такой способ, но при желании можно и так. Для ясности будем вместо дифференциалов использовать производные, ведь понятие второй производной у Вас вопросов не вызывает, верно?

Пусть $\gamma$ — гладкая кривая, заданная параметрически: $t\mapsto x^i(t)$. Выберем некоторое значение параметра $a$. Пусть $s(t)$ — интервал между точками $x^i(a)$ и $x^i(t)$:
$s^2(t)=(x_i(t)-x_i(a))(x^i(t)-x^i(a))$
Продифференцируем это дважды по $t$:$$2\left(\frac{ds(t)}{dt}\right)^2+2s(t)\frac{d^2 s(t)}{dt^2}=\frac{d^2 x_i(t)}{dt^2}(x^i(t)-x^i(a))+2\frac{dx_i(t)}{dt}\frac{dx^i(t)}{dt}+(x_i(t)-x_i(a))\frac{d^2 x^i(t)}{dt^2}$$При $t=a$ это с учётом $s(a)=0$ даёт $\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2=\dfrac{dx_i}{dt}\dfrac{dx^i}{dt}$
Теперь $ds^2=dx_i dx^i$ Вы можете понимать как краткую запись того, что для произвольного выбора точки и проходящей через неё кривой верна полученная формула.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group