Помогите разобраться с кубической интерполяцией

[3DRaven]

Задачка такова. Есть набор точек, надо построить интерполирующий сплайн с набором ограничений:

1. В начальной точке задана касательная. Может и не задана.
2. В любой промежуточной точке или нескольких могут быть заданы касательные. Могут и не заданы быть.
3. Длина сплайна минимальна для данного набора контрольных точек. Это условие нужно для приближения поведения сплайна к естественному сплайну или лучше сказать к гибкой рейке, которая послужила основой естественного сплайна.
4. Сплайн в трехмерном пространстве.
5. Первая и вторая производные в стыках непрерывны.

Еще по пути вопрос. Если спроецировать сплайн на две ортогональные плоскости (вид сверху и спереди какие то выберем), то касательные к проекциям будут касательными к кривой, если их суммировать как вектора то получим касательную к сплайну?

Подскажите, где почитать для колхозников понятное описание способа конструирования сплайнов? Алгоритм итоговый будет запихиваться в java программу. Можно просто вольфрамовый способ описания данной задачи, только не готовыми его инструментами, а со всеми матрицами и прочим что бы посмотреть как оно внутри тикает, может разберусь :)


Заранее спасибо.

[3DRaven]

Вопрос снят. Сам решил.

[svv]

Интересно, какой сплайн Вы выбрали. Я не специалист, но, навскидку, условие минимальности длины не очень хорошее (и физически неестественное, и математически). А лучше минимизировать что-то вроде энергии изгиба кривой (интеграл от квадрата кривизны по длине).

3DRaven в сообщении #1117739 писал(а):

Если спроецировать сплайн на две ортогональные плоскости (вид сверху и спереди какие то выберем), то касательные к проекциям будут касательными к кривой, если их суммировать как вектора то получим касательную к сплайну?

В эту сторону — нет, а наоборот — да: проекции касательных векторов к кривой будут касательными векторами к проекции кривой.

[3DRaven]

Что касается минимизации длины, то я просто обошелся :) В остальном задачка оказалась тривиальной.

За ответ на дополнительный вопрос, большое спасибо.

Да, в качестве основы хватило обычного сплайна Эрмита и естественного сплайна. Плюс еще один сплайн, где на одном конце вторая производная равна 0, а первая производная задана на другом. Не знаю есть ли название у такого сплайна. Вместе их можно стыковать в непрерывную кривую, которая мне вполне подходит. Условия минимизации энергии у естественного сплайна соблюдается, я пока не пришел к выводу, но думаю буду использовать естественный сплайн как основу для вычисления касательных в некоторых точках, а потом эрмит и безымянный сплайн для построения кривой по этим касательным...как то так. Но это если только решу вообще соблюдать условие минимизации.

[svv]

О, вот это кажется хорошим выбором. Спасибо и Вам за ответ.

3DRaven в сообщении #1117835 писал(а):

Плюс еще один сплайн, где на одном конце вторая производная равна 0, а первая производная задана на другом.

Такие мелочи обычно не влияют на название сплайна, а относятся к граничным условиям, Вы назвали один из типов таких условий.

[ewert]

3DRaven в сообщении #1117835 писал(а):

Условия минимизации энергии у естественного сплайна соблюдается,

Не знаю, что такое "естественный сплайн", но минимизации энергии отвечает нулевая вторая производная на обоих концах.

[Pphantom]

ewert в сообщении #1117903 писал(а):

Не знаю, что такое "естественный сплайн", но минимизации энергии отвечает нулевая вторая производная на обоих концах.

Это и есть определение естественного сплайна.

[3DRaven]

В конечном итоге выплыл на использование полиномов 4 или 5 степени. Зависит от условий. Они могут спокойненько в стыках держать первые две производные непрерывными, имеют возможность задания начальной и конечной касательных для всего сплайна...в общем там достаточно неизвестных что бы хватило на удовлетворение 5 условий, в которые я укладываюсь. То, что мне и надо было. Правда ручками тащить все это чудо в java программу я еще десять раз подумаю. Мне потом еще и точки перегиба искать надо. Просто пока в wolfram на это дело полюбовался и успокоился, жду когда пойму надо ли оно мне :)