A system with fractions

[ins-]

Solve (in reals) the system:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=4$
$\frac{1}{x+y+z}=2$

[iifat]

Как насчёт просуммировать дроби и выразить числители/знаменатели через элементарные? Первое т третье получаются ну очень простыми, не знаю уж как второе, но есть надежда...

[ins-]

(Оффтоп)

This system have a very nice solution. I posted it here to see different approaches. This forum is visited by many experienced mathematicians. I believe it will be solved soon. In case of issues - I'll post hints.

[mihiv]

iifat в сообщении #1117439 писал(а):

Как насчёт просуммировать дроби и выразить числители/знаменатели через элементарные? Первое т третье получаются ну очень простыми, не знаю уж как второе, но есть надежда...

Обозначим $S_1=x+y+z, S_2=xy+yz+zx, S_3=xyz.$ При этом второе уравнение системы приводится к виду:

$$\dfrac {4S_2-4S_1+3}{-8S_3+4S_2-2S_1+1}=2$$

. Решая систему относительно, $S_1, S_2, S_3$ получим $S_1=\frac 12, S_2=-\frac 34, S_3=-\frac 14.$
Отсюда следует, что $x, y, z$ являются корнями кубического уравнения: $q^3-\frac 12q^2-\frac 34q+\frac 14=0$. Легко подбирается корень равный $x=1$, остальные два корня: $y=\dfrac {-1+\sqrt 5}4, z=\dfrac {-1-\sqrt 5}4$. Нужно, конечно, добавить еще все возможные перестановки корней.

[ins-]

http://artofproblemsolving.com/communit ... 75p6230079 there are two more ways to solve it. The first one is almost the same of what mihiv wrote. The second one is a little strange and longer, but nice, too. It is the way I composed this problem.