2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 10:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Докажите, что квадрат со стороной 1 можно разрезать на пять треугольников, площадь каждого из которых строго меньше $\dfrac{1}{4}$. Не забудьте обосновать свой пример!

(И. Рубанов)
Источник: http://webcache.googleusercontent.com/s ... clnk&gl=il
(самая первая задача сверху)

У меня получилась вот такая дребедень:
Изображение
Ни тюлень не разберёт, ни олень.

Существуют ли примеры поинтереснее?
В моём (если там нет ошибки, а со мной такое часто в последнее время случается), например, три из пяти треугольников разбиения равны между собой.
Может, можно разрезать на 5 треугольников площадью $\dfrac{1}{5}$ каждый?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 11:06 


03/02/12

530
Новочеркасск
Можно проще и очевиднее - построить пять треугольников, начиная построения из углов одной из сторон. При этом легко построить так чтобы два крайних треугольника по сумме их площадей были равны каждому из "внутренних" треугольников. Площади при этом внутренних равны четверти, а крайних - одной восьмой. Далее - смещением вершин "внутрь" всегда можно добиться небольшого уменьшения площади внутренних треугольников, при небольшом увеличении площади крайних...

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1117404 писал(а):
Существуют ли примеры поинтереснее?
Нет.
Ktina в сообщении #1117404 писал(а):
Может, можно разрезать на 5 треугольников площадью $\dfrac{1}{5}$ каждый?
Нет. Квадрат не может быть разделён на нечётное число непересекающихся треугольников равной площади. Известные мне доказательства содержат весьма оригинальную технику и опираются на тот факт, что квадрат можно разбить на 3 всюду плотных множества точек (3 цвета) так, что любая прямая, пересекающая квадрат, будет покрашена только в 2 цвета (эту задачу как-то обсуждали на форуме).

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 11:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
grizzly
Вы не помните, когда обсуждали? Ссылку не дадите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1117424 писал(а):
Ссылку не дадите?
Пожалуйста. Это ссылка на последнее сообщение в той теме. В нём была другая ссылка -- на файл с относительно простым доказательством упомянутой невозможности разрезания квадрата (но доказательство проективное, с использованием $p$-адических чисел). Та ссылка, увы, умерла (файл у меня где-то хранится на чердаке, сейчас не доберусь).

-- 22.04.2016, 12:16 --

Ktina
Вот нашёл пока для Вас это утверждение в более сложной статье (см. последнее предложение второго абзаца на стр.41).

Upd. Уже есть страница в ру-вики. Но лучше смотреть английскую -- там подробностей больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Ktina в сообщении #1117404 писал(а):
Докажите, что квадрат со стороной 1 можно разрезать на пять треугольников, площадь каждого из которых строго меньше $\dfrac{1}{4}$. Не забудьте обосновать свой пример!
Требуется не только доказать, но ещё и обосновать? Ну и запросы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 12:46 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
grizzly в сообщении #1117422 писал(а):
Квадрат не может быть разделён на нечётное число непересекающихся треугольников равной площади.

Когда-то - ну очень давно - я убил на эту задачу массу времени - безуспешно.
А потом один из моих учеников нашел доказательство - в журнале "Квант", основанное на $p-$адической технике.
Увы, ссылку не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
DeBill в сообщении #1117447 писал(а):
Увы, ссылку не помню.
В странице на ру-вики она есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4
Сообщение22.04.2016, 15:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
grizzly
Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group