Единичный квадрат на 5 треугольников площади меньше 1/4

[Ktina]

Докажите, что квадрат со стороной 1 можно разрезать на пять треугольников, площадь каждого из которых строго меньше $\dfrac{1}{4}$. Не забудьте обосновать свой пример!

(И. Рубанов)
Источник: http://webcache.googleusercontent.com/s ... clnk&gl=il
(самая первая задача сверху)

У меня получилась вот такая дребедень:

Ни тюлень не разберёт, ни олень.

Существуют ли примеры поинтереснее?
В моём (если там нет ошибки, а со мной такое часто в последнее время случается), например, три из пяти треугольников разбиения равны между собой.
Может, можно разрезать на 5 треугольников площадью $\dfrac{1}{5}$ каждый?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[alexo2]

Можно проще и очевиднее - построить пять треугольников, начиная построения из углов одной из сторон. При этом легко построить так чтобы два крайних треугольника по сумме их площадей были равны каждому из "внутренних" треугольников. Площади при этом внутренних равны четверти, а крайних - одной восьмой. Далее - смещением вершин "внутрь" всегда можно добиться небольшого уменьшения площади внутренних треугольников, при небольшом увеличении площади крайних...

[grizzly]

Ktina в сообщении #1117404 писал(а):

Существуют ли примеры поинтереснее?

Нет.

Ktina в сообщении #1117404 писал(а):

Может, можно разрезать на 5 треугольников площадью $\dfrac{1}{5}$ каждый?

Нет. Квадрат не может быть разделён на нечётное число непересекающихся треугольников равной площади. Известные мне доказательства содержат весьма оригинальную технику и опираются на тот факт, что квадрат можно разбить на 3 всюду плотных множества точек (3 цвета) так, что любая прямая, пересекающая квадрат, будет покрашена только в 2 цвета (эту задачу как-то обсуждали на форуме).

[Ktina]

grizzly
Вы не помните, когда обсуждали? Ссылку не дадите?

[grizzly]

Ktina в сообщении #1117424 писал(а):

Ссылку не дадите?

Пожалуйста. Это ссылка на последнее сообщение в той теме. В нём была другая ссылка -- на файл с относительно простым доказательством упомянутой невозможности разрезания квадрата (но доказательство проективное, с использованием $p$-адических чисел). Та ссылка, увы, умерла (файл у меня где-то хранится на чердаке, сейчас не доберусь).

-- 22.04.2016, 12:16 --

Ktina
Вот нашёл пока для Вас это утверждение в более сложной статье (см. последнее предложение второго абзаца на стр.41).

Upd. Уже есть страница в ру-вики. Но лучше смотреть английскую -- там подробностей больше.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #1117404 писал(а):

Докажите, что квадрат со стороной 1 можно разрезать на пять треугольников, площадь каждого из которых строго меньше $\dfrac{1}{4}$. Не забудьте обосновать свой пример!

Требуется не только доказать, но ещё и обосновать? Ну и запросы!

[DeBill]

grizzly в сообщении #1117422 писал(а):

Квадрат не может быть разделён на нечётное число непересекающихся треугольников равной площади.

Когда-то - ну очень давно - я убил на эту задачу массу времени - безуспешно.
А потом один из моих учеников нашел доказательство - в журнале "Квант", основанное на $p-$адической технике.
Увы, ссылку не помню.

[grizzly]

DeBill в сообщении #1117447 писал(а):

Увы, ссылку не помню.

В странице на ру-вики она есть.

[Ktina]

grizzly
Спасибо большое!