Зачем в определении случайной величины отображение?

[Lockywolf]

Доброго времени суток.

Забавное ощущение, когда начинаешь перечитывать то, что учил давно.

У меня смешной вопрос. (Для начала я сошлюсь сюда.)

Там сказано, что (по определению) случайная величина -- это измеримая функция из множества элементарных событий вероятностного пространства в множество значений этой самой случайной величины.

(На самом деле, конечно, вот так: $X\, : (\Omega, \cal{F}) \to$ $(\Sigma, \kappa) $, но давайте считать, что у нас борелевские множества и всё "хорошо".)

А зачем это, собственно, нужно? Ну, то есть, разве всё, что эта функция делает -- это не индуцирует меру, заданную на $ (\Omega, \cal{F})$ на $\Sigma$?

[Brukvalub]

Lockywolf в сообщении #1117095 писал(а):

всё, что эта функция делает -- это не индуцирует меру, заданную на $ (\Omega, \cal{F})$ на $\Sigma$?

Нет, эта функция принимает значения на элементах вероятностного пространства.

[--mS--]

Lockywolf в сообщении #1117095 писал(а):

А зачем это, собственно, нужно? Ну, то есть, разве всё, что эта функция делает -- это не индуцирует меру, заданную на $ (\Omega, \cal{F})$ на $\Sigma$?

Тот очевидный факт, что две разные случайные величины (два разных измеримых отображения из $\langle \Omega, \cal{F}\rangle$ в $\langle \mathbb R, \mathfrak B\rangle$) могут иметь одно и то же распределение (индуцировать одну и ту же меру на $\langle \mathbb R, \mathfrak B\rangle$) поможет?

[Lockywolf]

Тот очевидный факт, что две разные случайные величины (два разных измеримых отображения из $\langle \Omega, \cal{F}\rangle$ в $\langle \mathbb R, \mathfrak B\rangle$) могут иметь одно и то же распределение (индуцировать одну и ту же меру на $\langle \mathbb R, \mathfrak B\rangle$) поможет?[/quote]

Нет, к сожалению, потому что исходно я именно с этим фактом и пытаюсь разобраться, и в попытке "разобрать" моё непонимание на части, я и дошёл до этой аксиоматики. (topic107726.html , последние несколько постов)

То есть, две случайные величины, конечно, могут быть разными, имеющими одинаковые распределения, но совместное-то их распределение будет содержать всю информацию о них.

[--mS--]

Их совместное распределение не будет содержать всю информацию о них, потому как, вообще говоря, найдутся две иные случайные величины с тем же совместным распределением

[Lockywolf]

Цитата:

Их совместное распределение не будет содержать всю информацию о них, потому как, вообще говоря, найдутся две иные случайные величины с тем же совместным распределением

Ну и что? Для других случайных величин можно написать совместное распределение большей размерности.

[Otta]

Я Вас искренне не понимаю. Информация о распределении в любом случае не позволит восстановить случайную величину. Но ведь Вам в той задаче и не нужна была случайная величина. Вам нужна была именно информация о распределении.

[Lockywolf]

Слушайте, я специально создал эту тему, потому что эта тема отдельная, и я её не понимаю.

Вот есть у меня вероятностное пространство (то есть, по сути, распределение на некотором множестве), вот есть функция в другое пространство, индуцирующая на нём меру. (Другое распределение, на другом множестве.)

Пусть есть другие сущности того же сорта: распределение, функция, другое распределение.

Что я с ними могу делать? Ну, пусть есть какая-то функция. $C = f(A,B)$.

С -- это ещё какая-то случайная величина, так? У неё есть какие-то распределение, функция, другое распределение.

Нас что интересует? Нас интересует в первую очередь распределение С, правильно? Или совместное распределение (C,A,B)?

---

Теперь рассмотрим ситуацию проще:

Есть распределение/мера на $A$, распределение/мера на $B$. Пусть $f$ работает на элементах $(A,B)$.

Из этого разве не следует, что можно написать совместное распределение $(C,A,B)$?

Где что теряется из-за того, что выброшенны функции из $A$ и из $B$?

[Otta]

Lockywolf в сообщении #1117281 писал(а):

Есть распределение/мера на $A$, распределение/мера на $B$.

Этого недостаточно, чтобы знать совместное распределение. И Вы это знаете. По маргинальным совместное не составишь.

[Lockywolf]

Знать-то знаю, а понимать -- не понимаю.

Цитата:

По маргинальным совместное не составишь.

Так мне и знание $\Phi_1: (\Omega_1, F_1, P_1) \to (\Omega_1', F_1')$ и $\Phi_2: (\Omega_2, F_2, P_2) \to (\Omega_2', F_2')$ не позволяет совместное построить!

Мне же нужно знать зависимость между значениями величин из $\Omega'_1$, и $\Omega'_2$.

[Otta]

И не позволит, на разных вероятностных пространствах-то.

У меня, однако, проблема. Я не понимаю, что мы обсуждаем.
1) Зачем нужно понятие случайной величины?
2) Зачем нужно понятие распределения случайной величины?
3) Чем одно отличается от другого?
4) Еще что-то?
5) ...

[Lockywolf]

Цитата:

У меня, однако, проблема. Я не понимаю, что мы обсуждаем.

Если бы я мог точно задать вопрос, я бы, наверное, уже сам на него ответил.

Наверное, мы обсуждаем, чем отличается по существу понятие "вероятностное пространство" (распределение на множестве) от понятия "случайная величина".

И там и там есть некоторый эксперимент, несущий в себе некоторое количество случайности. И там и там мы можем наблюдать элементы некоторого множества, встречающегося с определённой частотой. Множество может быть довольно замысловатое, многомерное, бесконечномерное. Частоты могут быть дифференциальные (тогда есть плотность) и точечные(тогда плотность обращается в дельта-функцию, что не очень хорошо, зато частота совершенно прозрачна).

Какую роль в этом всём играет измеримая функция -- я не очень понимаю.

Ну, давайте возьмём какой-нибудь самый тривиальный пример:

Пусть есть вероятностное пространство: $(R, \mathfracB(B), N(0,1))$. Функция $F$ будет следующей: $f = I(x \geq 0)$. Множество значений будет $(\{0,1\}, \{0,1\})$. Нигде не проврался?

Тогда эта случайная величина -- это бернулли без сдвига.

Ну и зачем я городил весь этот огород с функцией?

Можно было бы, например, взять не $(R, B(B), N(0,1))$, а $(\{0,1\}, \{0,1\})$, а остальное оставить тем же. Ничего бы не изменилось.

Можно было бы взять $(\{0,1\}, \{0,1\})$, а функцию сделать тождественной. С точки зрения описания эксперимента -- ничего бы не изменилось.

[Otta]

Lockywolf в сообщении #1117305 писал(а):

Ну, давайте возьмём какой-нибудь самый тривиальный пример:

Пусть есть вероятностное пространство: $(R, \mathfracB(B), N(0,1))$. Функция $F$ будет следующей: $f = I(x \geq 0)$. Множество значений будет $(\{0,1\}, \{0,1\})$. Нигде не проврался?

Тогда эта случайная величина -- это бернулли без сдвига.

Ну и зачем я городил весь этот огород с функцией?

Можно было бы, например, взять не $(R, B(B), N(0,1))$, а $(\{0,1\}, \{0,1\})$, а остальное оставить тем же. Ничего бы не изменилось.

Можно было бы взять $(\{0,1\}, \{0,1\})$, а функцию сделать тождественной. С точки зрения описания эксперимента -- ничего бы не изменилось.

О чем все это? Вы же учитывайте, что проникнуть в Ваши мысли и заполнить лакуны в изложении затруднительно.

[mihaild]

Lockywolf
Вы, случайно, не имеете в виду что для любого набора из $n$ вещественнозначных случайных величин можно задать распределение на $\mathbb{R}^n$ такое, что совместное распределение координат будет совпадать с совместным распределением этих величин (т.е. что в качестве носителя вероятностного пространства можно брать $\mathbb{R}^n$)?

[Lockywolf]

Otta в сообщении #1117322 писал(а):

О чем все это? Вы же учитывайте, что проникнуть в Ваши мысли и заполнить лакуны в изложении затруднительно.

Извините. Видимо, я не могу объяснить вам свою проблему. Видимо, поэтому вы помочь мне не сможете.
Мой главный вопрос -- в непонимании разницы между вероятностным пространством и случайной величиной как между инструментами, которые на первый взгляд описывают одно и то же.

Если мой вопрос непонятен, то я не знаю, как изложить его по-другому.

"Лакуны" как вы изъясняетесь, может, и трудно заполнить, но проникнуть в мои мысли довольно несложная задача -- надо взять определение случайной величины из той ссылки, которая находится в первом сообщении темы, и поставить на место каждого абстрактного термина (например, множество), какую-нибудь из очевидных его реализаций. (например, числовую прямую или две точки 1 и 0).
Кажется, это довольно естественный способ усвоения излагаемого в книгах материала.

И пожалуйста, у меня к "Вам" личная просьба. Не надо пытаться дать мне в морду в каждом сообщении. Я ничего такого плохого вам не сделал. Если вам некомфортно читать мои сообщения, и отвечать на мои вопросы, то что на этом форуме, что в интернете ещё много есть людей, которым нужна помощь.

mihaild в сообщении #1117323 писал(а):

Lockywolf
Вы, случайно, не имеете в виду что для любого набора из $n$ вещественнозначных случайных величин можно задать распределение на $\mathbb{R}^n$ такое, что совместное распределение координат будет совпадать с совместным распределением этих величин (т.е. что в качестве носителя вероятностного пространства можно брать $\mathbb{R}^n$)?

Ммм... наверное, близко, но не совсем.

Чёрт, как же вопрос-то правильно задать...

Ну вот, вы можете ответить на такой вопрос (или сыграть в такую игру):
Я даю вам эксперимент, а вы мне говорите, как именно выглядят вероятностное пространство, функция и область значений функции?

Я вот, не могу, поэтому не понимаю, что именно они описывают.

Вот, скажем, я бросаю монетку -- орёл/решка, шансы 1/2. Мне (из курса теории вероятности) понятно, что исход эксперимента описывается распределением вероятностей под названием "распределение Бернулли".

Однако какие в данном случае пространство элементарных событий и функция?