Прошу оценить этот метод решения физических задач.
Матрица дифференциалов.
Матрица дифференциалов – условное название абстрактного дифференциального уравнения-шаблона, в котором в явном виде присутствуют функции от одной переменной

, в скрытой форме – функции, определяемые через аргумент

(время), то есть первая и вторая производные координаты

по времени

.

(0)
Матричный метод основан на использовании готового шаблона с подстановкой в него заданных зависимостей (функций). В статье показаны способы вывода уравнений движения и способы решения задач (основанные на прямом интегрировании этих уравнений), не противоречащие механике Лагранжа.
Представим себе функцию

, аргумент

, ее первую

, вторую

, следующие

производные по этому аргументу. Следуя вправо по этому списку, функцию дифференцируем, следуя влево – находим первообразные. То есть между членами этого ряда существует последовательная связь. А существует ли между переменными такого ряда связь алгебраическая (арифметическая)? Существует - связывает их переменная

. Рассмотрим связь между первой и второй производными:

(1)

(2)
Получилось два простейших абстрактных дифференциальных уравнения, получающих в дальнейшем неожиданно широкое применение.
** 1. Прежде всего, эти матрицы-уравнения – образец для переноса метода на моделирование матриц для иных физических величин. В первом случае мы использовали функцию координат по времени, скорость, ускорение. Если вместо длины (координат, пути) взять физическую величину

– электрический заряд, то получим такие матрицы-уравнения:

(3)

(4)
Где

- заряд,

– сила тока,

- скорость изменения силы тока,

– время.
Возьмем две смежных физические величины – массу

и длину

. Получим матрицы-уравнения:

(5)

(6)
Где

- масса,

- линейная плотность,

- «скорость» изменения плотности,

- координата.
** 2. Алгоритм решения задач на основе матрицы.
Алгоритм подстановок функций (заданных зависимостей) и констант (начальных условий) в матрицу в процессе решения задачи, (на примере конкретной задачи):
* Найти период колебаний пружинного горизонтального маятника, если известна зависимость

. Даны амплитуда колебания

и начальная скорость

.
1. Выбираем подходящую матрицу (их немного). В условии дана зависимость от координат, поэтому берем такую матрицу:

(0).
2. Подставляем в неё зависимость

. Интегрируя полученное уравнение

с разделенными переменными, получим неопределенные интегралы

.
3. Получаем определенные интегралы

, где верхние пределы взяты из начальных условий

, а нижние обозначены символическими переменными

. Таким способом получена новая функция

, но она у нас в квадрате. Воспользуемся понятием вложенной функции и, упростив левое выражение, усложним правое:

.
4. Для вывода формулы времени подставляем в другую матрицу

, полученную в предыдущем шаге функцию

. Определенный интеграл для пределов

– табличный:

.
5. Период колебаний будет

. Если требуется вывод уравнения движения вида

, то находим обратную функцию от ранее полученной:

.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода

, исходя из готовой функции

, определяющей гармонические колебания. Параметры движения

вычисляют через первую и вторую производные от этой функции. В описанном выше алгоритме параметры вычисляются через два интегрирования, то есть решается задача, обратная дифференциированию.
** 3. Мы видим, что, с математической точки зрения, данный метод достаточно универсален. Но, если из шести основных физически величин, имеющих однозначную размерность

, мы составим комбинации из двух сопряженных величин (а их может быть до 15), то увидим, что не все комбинации образуют физический смысл, уже применяемый в физике. Ниже приводятся примеры решения задач с применением этого матричного метода.
*Задача: "Вдоль прямой движется тело, его скорость возрастает по мере удаления от начала координат - она пропорциональна квадрату этого расстояния. В точке с координатой

скорость равна

. Найдите ускорение

тела в этой точке".
Решение: вставляем в матрицу

(0) заданную в условии зависимость скорости от координаты

, постоянную величину

, тоже полученную из условия, производную скорости по координате

. Получаем ответ:

.
* Задача: Найти время падения тела от состояния покоя, с высоты

км до поверхности Земли. Дана зависимость

, где

,

,

км. Сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение: вставив в матрицу

заданную зависимость, получаем конкретное дифференциальное уравнение

. Интегрируем его в определенных интегралах

для заданных начальных условий

, чтобы получить зависимость скорости от координаты

, находим время из марицы

, подставив в неё

. Окончательно:

. Ответ: время падения

c.
* Задача: тело падает в атмосфере из состояния покоя. Найти уравнение движения и вывести формулы параметров (пути, скорости, времени) процесса падения. Задана зависимость

, (

и

– постоянные).
Решение: вставив в матрицу

заданную зависимость, получаем конкретное дифференциальное уравнение

. Интегрируем его в определенных интегралах.
1. Находим зависимость
2. Находим зависимость
3. Находим формулу пути, как обратную функцию

.
Вывод закона сохранения механической энергии.
Умножим обе части матрицы

(0) на постоянную величину

, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим

. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения аналогично - из определений угловой скорости

и углового ускорения

получаем пропорцию-матрицу, умножив ее на постоянные массу

, радиус в квадрате

. Проинтегрировав её, получаем формулу закона сохранения для вращательного движения:

.
Вывод закона очень простой, не канонический (без ссылок на вариационный принцип, на принцип наименьшего действия, на симметрию пространства и времени, аддитивность физических величин). Зато коротко и понятно показано, что законы сохранения – математические теоремы, выводимые из неких аксиом.