Матрица дифференциалов

[Архипов]

Прошу оценить этот метод решения физических задач.

Матрица дифференциалов.

Матрица дифференциалов – условное название абстрактного дифференциального уравнения-шаблона, в котором в явном виде присутствуют функции от одной переменной $x$, в скрытой форме – функции, определяемые через аргумент $t$ (время), то есть первая и вторая производные координаты $x$ по времени $t$.
$v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0)

Матричный метод основан на использовании готового шаблона с подстановкой в него заданных зависимостей (функций). В статье показаны способы вывода уравнений движения и способы решения задач (основанные на прямом интегрировании этих уравнений), не противоречащие механике Лагранжа.

Представим себе функцию $x(t)$, аргумент $t$, ее первую $(x` = dx/dt = v)$, вторую $(x`` = dv/dt = a)$, следующие $(y```, ....)$ производные по этому аргументу. Следуя вправо по этому списку, функцию дифференцируем, следуя влево – находим первообразные. То есть между членами этого ряда существует последовательная связь. А существует ли между переменными такого ряда связь алгебраическая (арифметическая)? Существует - связывает их переменная $dt$. Рассмотрим связь между первой и второй производными:
$dt = dx/v = dv/a$ (1)
$v*dv = a*dx$ (2)
Получилось два простейших абстрактных дифференциальных уравнения, получающих в дальнейшем неожиданно широкое применение.

** 1. Прежде всего, эти матрицы-уравнения – образец для переноса метода на моделирование матриц для иных физических величин. В первом случае мы использовали функцию координат по времени, скорость, ускорение. Если вместо длины (координат, пути) взять физическую величину $q$ – электрический заряд, то получим такие матрицы-уравнения:
$dt = dq/I = dI/i$ (3)
$I*dI = i*dq$ (4)
Где $q$ - заряд, $I$ – сила тока, $i$ - скорость изменения силы тока, $t$ – время.
Возьмем две смежных физические величины – массу $m$ и длину $x$. Получим матрицы-уравнения:
$d x = dm/p = dp/r$ (5)
$p*dp = r*dm$ (6)
Где $m$ - масса, $p$ - линейная плотность, $r$ - «скорость» изменения плотности, $x$ - координата.

** 2. Алгоритм решения задач на основе матрицы.
Алгоритм подстановок функций (заданных зависимостей) и констант (начальных условий) в матрицу в процессе решения задачи, (на примере конкретной задачи):

* Найти период колебаний пружинного горизонтального маятника, если известна зависимость $a(x) = k*x/m$. Даны амплитуда колебания $A$ и начальная скорость $Vo=0$.
1. Выбираем подходящую матрицу (их немного). В условии дана зависимость от координат, поэтому берем такую матрицу: $v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0).
2. Подставляем в неё зависимость $a(x) = k*x/m$. Интегрируя полученное уравнение $v(x)*dv(x) =(k/m)*x*dx$ с разделенными переменными, получим неопределенные интегралы $v^2(x)/2 = (k/m)*x^2/2$.
3. Получаем определенные интегралы $v^2(x)=(k/m)* (A^2-x^2)$, где верхние пределы взяты из начальных условий $( A , Vo=0)$, а нижние обозначены символическими переменными $(v, x)$. Таким способом получена новая функция $v(x)$, но она у нас в квадрате. Воспользуемся понятием вложенной функции и, упростив левое выражение, усложним правое: $v(x)=((k/m) *(A^2-x^2))^0^5$.
4. Для вывода формулы времени подставляем в другую матрицу $(dt(x) = dx/v(x))$, полученную в предыдущем шаге функцию $v(x)$. Определенный интеграл для пределов $(0<x<A)$ – табличный: $t(x) = (m/k)^0^5 * arcsin(x/A) = (Pi/2)*(m/k)^0^5$.
5. Период колебаний будет $T = 4*t = 2*Pi*(m/k)^0^5$. Если требуется вывод уравнения движения вида $x(t)$, то находим обратную функцию от ранее полученной: $x(t) = 1/t(x) = A*sin(w*t)$.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода $T$, исходя из готовой функции $x= A*sin(w*t)$, определяющей гармонические колебания. Параметры движения $(v, a)$ вычисляют через первую и вторую производные от этой функции. В описанном выше алгоритме параметры вычисляются через два интегрирования, то есть решается задача, обратная дифференциированию.

** 3. Мы видим, что, с математической точки зрения, данный метод достаточно универсален. Но, если из шести основных физически величин, имеющих однозначную размерность $(L, T, M, I, Q, J)$, мы составим комбинации из двух сопряженных величин (а их может быть до 15), то увидим, что не все комбинации образуют физический смысл, уже применяемый в физике. Ниже приводятся примеры решения задач с применением этого матричного метода.

*Задача: "Вдоль прямой движется тело, его скорость возрастает по мере удаления от начала координат - она пропорциональна квадрату этого расстояния. В точке с координатой $X$ скорость равна $V$. Найдите ускорение $a$ тела в этой точке".
Решение: вставляем в матрицу $v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0) заданную в условии зависимость скорости от координаты $v(C,x) = C*x^2$, постоянную величину $С=V/X^2$, тоже полученную из условия, производную скорости по координате $dv/dx = 2*C*x$. Получаем ответ:
$a(x) = v(x)*(dv/dx) = (C*x^2)*(2*C*x) = 2*C^2*x^3$.

* Задача: Найти время падения тела от состояния покоя, с высоты $h=6371$ км до поверхности Земли. Дана зависимость $a(x) = g/x^2$, где $x = (h+R)/R$, $g=10м/с^2$, $R=6371$км. Сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение: вставив в матрицу $v(x)*dv(x) =a(x)*dx$ заданную зависимость, получаем конкретное дифференциальное уравнение $v(x)*dv(x) =(g/x^2)*dx$ . Интегрируем его в определенных интегралах $v^2(x) = 2*Integr(g*dx/x^2)$ для заданных начальных условий $(Vo=0, Xo=1)$, чтобы получить зависимость скорости от координаты $v(x) = (2*g*R*(1/x-1/Xo))^0^5$, находим время из марицы $t(x)=Int(dx/v(x))$, подставив в неё $v(x)$. Окончательно:
$t = (R/2g)^0^5*Xo^1^5)*(Pi/2-arcsin((x/Xo)^0^5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)^0^5)$. Ответ: время падения $t=2072$c.

* Задача: тело падает в атмосфере из состояния покоя. Найти уравнение движения и вывести формулы параметров (пути, скорости, времени) процесса падения. Задана зависимость $a(v) = g - k*v$, ($g$ и $k$ – постоянные).
Решение: вставив в матрицу $v*dv =a(v)*dx$ заданную зависимость, получаем конкретное дифференциальное уравнение $dv/(g-kv^2) = dx$. Интегрируем его в определенных интегралах.
1. Находим зависимость $v(x)$
2. Находим зависимость $t(x)=Integr(dx/v(x))$
3. Находим формулу пути, как обратную функцию $x(t)=1/t(x)$.

Вывод закона сохранения механической энергии.

Умножим обе части матрицы $v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0) на постоянную величину $m$, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим $m*v^2/2 = m*a*x$. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения аналогично - из определений угловой скорости $w=df/dt$ и углового ускорения $e=dw/dt$ получаем пропорцию-матрицу, умножив ее на постоянные массу $m$, радиус в квадрате $R^2$. Проинтегрировав её, получаем формулу закона сохранения для вращательного движения: $m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f$.
Вывод закона очень простой, не канонический (без ссылок на вариационный принцип, на принцип наименьшего действия, на симметрию пространства и времени, аддитивность физических величин). Зато коротко и понятно показано, что законы сохранения – математические теоремы, выводимые из неких аксиом.

[Архипов]

Ни одного камня в огород.

[abc_qmost]

Архипов писал(а):

...Вывод закона очень простой, не канонический (без ссылок на вариационный принцип, на принцип наименьшего действия, на симметрию пространства и времени, аддитивность физических величин). Зато коротко и понятно показано, что законы сохранения – математические теоремы, выводимые из неких аксиом.

Ну, а это уже тяжелая клиника.

[Архипов]

abc_qmost писал(а):

Ну, а это уже тяжелая клиника.

Брось из себя это дело давить. Сам же сказал - не на конюшне.

[Архипов]

Архипов писал(а):

Ни одного камня в огород.

Напросился. Неужели люди не поняли написанного? А как же тогда они механику Лагранжа понимают?

[tolstopuz]

Архипов писал(а):

Вывод закона сохранения механической энергии.

Умножим обе части матрицы $v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0) на постоянную величину $m$, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим $m*v^2/2 = m*a*x$. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. [...]
Вывод закона очень простой, не канонический (без ссылок на вариационный принцип, на принцип наименьшего действия, на симметрию пространства и времени, аддитивность физических величин). Зато коротко и понятно показано, что законы сохранения – математические теоремы, выводимые из неких аксиом.

Теперь берем учебник 1998 года Jose, Saletan, Classical Dynamics:

Цитата:

Often, however, $\mathbf{F}$ is a function of $\mathbf{x}$ alone, with no $\mathbf{v}$ or $t$ dependence. Then one can take the line integral with respect to $\mathbf{x}$ along the trajectory, obtaining

$$\int_{\mathbf{x}(t_0)}^{\mathbf{x}(t)}\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot d\mathbf{x}=\int_{t_0}^t\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\dot{\mathbf{x}}dt=m\int_{t_0}^t\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}\cdot\frac{d\mathbf{x}}{dt}dt=\frac12m\int_{t_0}^t\frac d{dt}(\dot{x}^2)dt=\frac12mv^2(t)-\frac12mv^2(t_0)$$

,

where $v^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$.

А теперь учебник 2000 года (первое издание вышло в 1950 году) Goldstein, Classical Mechanics:

Цитата:

Next consider the work done by the external force $\mathbf{F}$ upon the particle in going from point 1 to point 2. By definition, this work is

$$W_{12}=\int_1^2\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$$

.

For constant mass (as will be assumed from now on unless otherwise specified), the integral in Eq. (1.12) reduces to

$$\int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=m\int\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}dt=\frac m2\int\frac d{dt}(v^2)dt$$

,

and therefore

$$W_{12}=\frac m2(v_2^2-v_1^2)$$

.

В обоих случаях вывод формулы очень простой, канонический (без ссылок на вариационный принцип, на принцип наименьшего действия, на симметрию пространства и времени, аддитивность физических величин) и не использует никаких "матриц", только вектора. Более того, далее в каждом из учебников аккуратно оговариваются дополнительные условия (а именно консервативность), которые позволяют коротко и понятно вывести из этой формулы закон сохранения механической энергии как математическую теорему, выводимую из неких аксиом.

[Архипов]

tolstopuz писал(а):

Теперь берем учебник 1998 года Jose, Saletan, Classical Dynamics:

1. Не зная английского, но зная язык математики, видим - он выводит формулу кинетической энергии (а не закона сохранения энергии). У меня же - вывод сразу двух формул из одного уравнения - кинетической и потенциальной (или работы), (или закон сохранения энергии).
2. Понял так, что Вы намекаете - "списал и выдает за своё". Тогда уж найдите полное соответствие.

[abc_qmost]

Архипов писал(а):

Напросился. Неужели люди не поняли написанного? А как же тогда они механику Лагранжа понимают?

Люди тем и отличаются от животных, что они в своем большинстве могут отличить бред от разумных вещей. Поэтому они понимают механику Лагранжа и не понимают Вас.

[tolstopuz]

Архипов писал(а):

2. Понял так, что Вы намекаете - "списал и выдает за своё".

Не совсем. Изобрел велосипед.

[Архипов]

tolstopuz писал(а):

Архипов писал(а):

2. Понял так, что Вы намекаете - "списал и выдает за своё".

Не совсем. Изобрел велосипед.

Это замечание принимается без возражений.
Да и опубликовал статью с одной целью - показать вывод уравнений движения индуктивным методом. То есть, начиная с аксиом, путем подстановок зависимостей ускорения от разного рода сил, через интегрирование, решать задачи механики.
И дополнительно - как перенести этот метод на другие физические величины, не механические ( математическая идея взаимосвязи первой и второй производных, с исключением из них аргумента в явном виде). Тоже, конечно, не новость.

[Архипов]

Что интересно: одни воспринимают этот метод как бред, другие - как изобретение велосипеда.
Для первых - многие классы задач решаются этим методом, для вторых - таким методом редко кто пользуется.