Задача на построение из вступительных в МГУ

[e2e4]

Прошу помощи в решении задачи №3 устного вступительного экзамена на мехмат МГУ 2007 года (общая страничка вариантов экзаменов тут).

Сама задача:

Цитата:

С помощью циркуля и линейки построить треугольник $ABC$ по его высотам $CH=5$, $BK = 6$ и медиане $AM = 4$

Основными приемами построений с помощью циркуля и линейки владею .
Однако, ничего путного не придумывается в этой задаче.

Пробовал решить задачу аналитически. Нашел, что треугольник - остроугольный, угол $A$ составляет $arcsin{\dfrac{3}{4}} + arcsin{\dfrac{5}{8}} \approx 87,27 ^\circ$, никаких "хороших" соотношений сторон и углов нету.

Подскажите идею, как решать, уже весь мозг сломал .

[TOTAL]

e2e4 писал(а):

Сама задача:

Цитата:

С помощью циркуля и линейки построить треугольник $ABC$ по его высотам $CH=5$, $BK = 6$ и медиане $AM = 4$

Нарисуйте удвоенную медиану

$$AO$$

, нарисуйте две кружности (с центром в т.

$$O$$

с радиусами равными высотам),
из т.

$$A$$

проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.

[Tiger-OZ]

Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте, что они дадут. Аналогично с ВК. Четырёхугольник АСОВ (см. предыдущее сообщение) - это ...
Анализируйте.

[bot]

Tiger-OZ писал(а):

Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте ...

Думаю ... СH1 - это продолжение CH или CHH1 - равнобедренный треугольник? ...

Цитата:

см. предыдущее сообщение

А вот здесь всё естественно и прозрачно - TOTAL строит параллелограмм по двум высотам и диагонали, половинка его и есть нужный треугольник.

[e2e4]

TOTAL писал(а):

Нарисуйте удвоенную медиану , нарисуйте две кружности (с центром в т. с радиусами равными высотам),
из т. проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.

bot писал(а):

А вот здесь всё естественно и прозрачно - TOTAL строит параллелограмм по двум высотам и диагонали, половинка его и есть нужный треугольник.

Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно. Я в первом сообщении говорил, что угол $A = 87,27^\circ$, что очень близко к 90, и может вводить в заблуждение. Точное построение показывает, что прямая, содержащая удвоенную медиану, не совпадает с диагональю параллелограмма.

TOTAL, если Вы имели что-то другое ввиду в своем решении, прошу Вас - уточните что именно, решение для меня не очевидно.

Tiger-OZ писал(а):

Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте, что они дадут. Аналогично с ВК. Четырёхугольник АСОВ (см. предыдущее сообщение) - это ...
Анализируйте.

Извините, Вы точно продумали ход решения, или просто даете одно из возможных начал рассуждений, которые могут никуда не привести? Во-первых, неясно, $CHH_1$ - это удвоенная высота или равнобедренный треугольник с ребром $CH$? Во-вторых, дальнейшее решение мне также не очевидно .

Над задачей мы уже думаем тут 2 недели, от решения этой задачи не зависит ни моя оценка (ВУЗ я уже окончил ), ни какой-либо практический результат, чисто спортивный интерес, поэтому прошу в данном конкретном случае все-таки не относится ко мне как к нерадивому ученику, а написать решение, или хотя бы не заканчивать подсказку словом "анализируйте", если можно. Я уже близок к тому, чтобы сдаться.

[Neqyau]

Построим прямоугольные треугольники по общей гипотенузе $m_a=AM$ и катетам $h_b/2=MQ$ и $h_c/2=MP$ так, чтобы вершины прямоугольных треугольников $MPA$ и $MQA$ лежали по разные стороны от $m_a$. Тогда, вершины $B$ и $C$ будут лежать на прямых $AP$ и $AQ$. Отложим на луче $AM$ отрезок $AA_1 = 2AM$, и проведем через точку $A_1$ прямые, параллельные $AP$ и $AQ$.

[RIP]

e2e4 писал(а):

Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно.

Почему же неверное? По-моему, bot всё правильно сказал.

[bekas]

Рекомендую: Б.И. Аргунов и М.Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических вузов, на стр. 45 дословно описана обсуждаемая задача...

[bot]

Отбросим буковки и прочитаем условие так:
Построить треугольник, если известны две его высоты и медиана.

В этом случае возникает ещё один вариант - одна из высот проведена к той же стороне, к какой проведена медиана. Решается аналогично, только не медиану удваивать ... и не из одного центра ...

P.S. Что сказал TOTAL, мне было ясно с первого взгляда - задачу засёк с чужого компьютера ещё до того, как он тут побывал. Не сомневался, что до утра задача не доживёт, но логиниться было недосуг.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

e2e4 писал(а):

Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно.

Почему же неверное? По-моему, bot всё правильно сказал.

Присоединяюсь к этому мнению.

[TOTAL]

e2e4 писал(а):

TOTAL писал(а):

Нарисуйте удвоенную медиану , нарисуйте две кружности (с центром в т. с радиусами равными высотам),
из т. проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.

Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно. Я в первом сообщении говорил, что угол $A = 87,27^\circ$, что очень близко к 90, и может вводить в заблуждение. Точное построение показывает, что прямая, содержащая удвоенную медиану, не совпадает с диагональю параллелограмма.

TOTAL, если Вы имели что-то другое ввиду в своем решении, прошу Вас - уточните что именно, решение для меня не очевидно.

Между

$$AO$$

и одной касательой будет угол с

$$\sin A_1=\frac{5}{8}$$

,
Между

$$AO$$

и другой касательой будет угол с

$$\sin A_2=\frac{6}{8}$$

.
$A = A_1 + A_2$, как у Вас. Что смущает?

Чтобы завершить построение, через точку

$$O$$

проведите прямые параллельно той и другой касательной.
Получите параллелограмм с вершинами

$$A, B, O, C$$

. Треугольник

$$A, B, C$$

- искомый.

Кстати, Вы согласны, что точка пересечения диагоналей любого параллелограмма делит каждую из них пополам?

[e2e4]

Ужасно извиняюсь за крайне запоздалый ответ, хотел еще подумать над этой задачей, да время не позволило. В последний месяц крайне много навалилось дел.

Построение я все-таки выполнил, изначально не вьехал, что две другие стороны параллелограмма надо строить параллельно касательным, а не из тч. O в точку касания, поэтому тогда не получилось построить.

Буду (если все-таки выберу время) думать над задачей еще, принцип построения ясен.

Еще раз извините .