2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на построение из вступительных в МГУ
Сообщение07.04.2008, 11:32 
Прошу помощи в решении задачи №3 устного вступительного экзамена на мехмат МГУ 2007 года (общая страничка вариантов экзаменов тут).

Сама задача:
Цитата:
С помощью циркуля и линейки построить треугольник $ABC$ по его высотам $CH=5$, $BK = 6$ и медиане $AM = 4$


Основными приемами построений с помощью циркуля и линейки владею :).
Однако, ничего путного не придумывается в этой задаче.

Пробовал решить задачу аналитически. Нашел, что треугольник - остроугольный, угол $A$ составляет $arcsin{\dfrac{3}{4}} + arcsin{\dfrac{5}{8}} \approx 87,27 ^\circ$, никаких "хороших" соотношений сторон и углов нету.

Подскажите идею, как решать, уже весь мозг сломал :D .

 
 
 
 Re: Задача на построение из вступительных в МГУ
Сообщение07.04.2008, 13:13 
Аватара пользователя
e2e4 писал(а):
Сама задача:
Цитата:
С помощью циркуля и линейки построить треугольник $ABC$ по его высотам $CH=5$, $BK = 6$ и медиане $AM = 4$


Нарисуйте удвоенную медиану $$AO$$, нарисуйте две кружности (с центром в т. $$O$$ с радиусами равными высотам),
из т. $$A$$ проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2008, 15:21 
Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте, что они дадут. Аналогично с ВК. Четырёхугольник АСОВ (см. предыдущее сообщение) - это ...
Анализируйте.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2008, 05:26 
Аватара пользователя
Tiger-OZ писал(а):
Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте ...

Думаю ... СH1 - это продолжение CH или CHH1 - равнобедренный треугольник? ...
Цитата:
см. предыдущее сообщение

А вот здесь всё естественно и прозрачно - TOTAL строит параллелограмм по двум высотам и диагонали, половинка его и есть нужный треугольник.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2008, 21:42 
TOTAL писал(а):
Нарисуйте удвоенную медиану , нарисуйте две кружности (с центром в т. с радиусами равными высотам),
из т. проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.


bot писал(а):
А вот здесь всё естественно и прозрачно - TOTAL строит параллелограмм по двум высотам и диагонали, половинка его и есть нужный треугольник.


Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно. Я в первом сообщении говорил, что угол $A = 87,27^\circ$, что очень близко к 90, и может вводить в заблуждение. Точное построение показывает, что прямая, содержащая удвоенную медиану, не совпадает с диагональю параллелограмма.

TOTAL, если Вы имели что-то другое ввиду в своем решении, прошу Вас - уточните что именно, решение для меня не очевидно.

Tiger-OZ писал(а):
Постройте СНН1 (СН = НН1). Из тт. С и Н1 постройте окружности радиусом 5. Подумайте, что они дадут. Аналогично с ВК. Четырёхугольник АСОВ (см. предыдущее сообщение) - это ...
Анализируйте.

Извините, Вы точно продумали ход решения, или просто даете одно из возможных начал рассуждений, которые могут никуда не привести? Во-первых, неясно, $CHH_1$ - это удвоенная высота или равнобедренный треугольник с ребром $CH$? Во-вторых, дальнейшее решение мне также не очевидно :cry: .

Над задачей мы уже думаем тут 2 недели, от решения этой задачи не зависит ни моя оценка (ВУЗ я уже окончил :) ), ни какой-либо практический результат, чисто спортивный интерес, поэтому прошу в данном конкретном случае все-таки не относится ко мне как к нерадивому ученику, а написать решение, или хотя бы не заканчивать подсказку словом "анализируйте", если можно. Я уже близок к тому, чтобы сдаться.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2008, 22:30 
Построим прямоугольные треугольники по общей гипотенузе $m_a=AM$ и катетам $h_b/2=MQ$ и $h_c/2=MP$ так, чтобы вершины прямоугольных треугольников $MPA$ и $MQA$ лежали по разные стороны от $m_a$. Тогда, вершины $B$ и $C$ будут лежать на прямых $AP$ и $AQ$. Отложим на луче $AM$ отрезок $AA_1 = 2AM$, и проведем через точку $A_1$ прямые, параллельные $AP$ и $AQ$.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2008, 22:34 
Аватара пользователя
e2e4 писал(а):
Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно.

Почему же неверное? По-моему, bot всё правильно сказал.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2008, 22:56 
Рекомендую: Б.И. Аргунов и М.Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических вузов, на стр. 45 дословно описана обсуждаемая задача...

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 06:15 
Аватара пользователя
Отбросим буковки и прочитаем условие так:
Построить треугольник, если известны две его высоты и медиана.

В этом случае возникает ещё один вариант - одна из высот проведена к той же стороне, к какой проведена медиана. Решается аналогично, только не медиану удваивать ... и не из одного центра ...

P.S. Что сказал TOTAL, мне было ясно с первого взгляда - задачу засёк с чужого компьютера ещё до того, как он тут побывал. Не сомневался, что до утра задача не доживёт, но логиниться было недосуг.

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 06:35 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
e2e4 писал(а):
Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно.

Почему же неверное? По-моему, bot всё правильно сказал.


Присоединяюсь к этому мнению.

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 08:17 
Аватара пользователя
e2e4 писал(а):
TOTAL писал(а):
Нарисуйте удвоенную медиану , нарисуйте две кружности (с центром в т. с радиусами равными высотам),
из т. проведите касательные к окружностям (это стороны тр-ка) и т.д.


Ну рассуждение bot'а неверное, чтобы убедиться - достаточно построить все в AutoCAD'е точно. Я в первом сообщении говорил, что угол $A = 87,27^\circ$, что очень близко к 90, и может вводить в заблуждение. Точное построение показывает, что прямая, содержащая удвоенную медиану, не совпадает с диагональю параллелограмма.

TOTAL, если Вы имели что-то другое ввиду в своем решении, прошу Вас - уточните что именно, решение для меня не очевидно.

Между $$AO$$ и одной касательой будет угол с $$\sin A_1=\frac{5}{8}$$,
Между $$AO$$ и другой касательой будет угол с $$\sin A_2=\frac{6}{8}$$.
$A = A_1 + A_2$, как у Вас. Что смущает?

Чтобы завершить построение, через точку $$O$$ проведите прямые параллельно той и другой касательной.
Получите параллелограмм с вершинами $$A, B, O, C$$. Треугольник $$A, B, C$$ - искомый.

Кстати, Вы согласны, что точка пересечения диагоналей любого параллелограмма делит каждую из них пополам?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 14:27 
Ужасно извиняюсь за крайне запоздалый ответ, хотел еще подумать над этой задачей, да время не позволило. В последний месяц крайне много навалилось дел.

Построение я все-таки выполнил, изначально не вьехал, что две другие стороны параллелограмма надо строить параллельно касательным, а не из тч. O в точку касания, поэтому тогда не получилось построить.

Буду (если все-таки выберу время) думать над задачей еще, принцип построения ясен.

Еще раз извините :x .

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group