Длина биссектрисы

[scwec]

На форуме ранее уже было приведено доказательство того, что в героновом треугольнике длина высоты не может равняться длине стороны,
на которую она опущена.
Было доказано также, что в героновом треугольнике длина медианы не может равняться длине стороны, которую она делит пополам.
Теперь очередь биссектрисы.
Докажите, что в героновом треугольнике длина биссектрисы внутреннего угла не может равняться длине стороны, противолежащей этому углу.
(Геронов треугольник - треугольник с рациональными длинами сторон и рациональной площадью).

[scwec]

Думаю, времени прошло достаточно, чтобы выложить решение.
Пусть $a,b,c$ -длины сторон треугольника и $B_a,B_b,B_c$ - длины соответствующих биссектрис в этом треугольнике.
Предположим, что $a=B_a$.Используем общеизвестные формулы для длин биссектрис.
В частности ${B_a}^2=\dfrac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2}$, откуда $a^2=\dfrac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2}\qquad(1)$
Из всевозможных параметризаций героновых треугольников выберем $b=l(x+1/x), c=l(y+1/y),a=l|x-1/x+y-1/y|$, где
$l,x,y$ положительные рациональные числа $x,y\ne{1}$.
$(1)$ преобразуется в $(x+y)^2(x^2{y^2}-1)^2-4x^2{y}^2(x^2+1)(y^2+1)=0\qquad(2)$
Обозначм $x+y=u, xy=v$. При этом $u,v>0$
Из $(2)$ следует $u^2{v^4}-6u^2{v^2}-4v^4+8v^3-4v^2+u^2=0\qquad(3)$
Группируя данные в $(3)$: $u^2(v^4-6v^2+1)=4v^2(v-1)^2$. Отсюда $v^4-6v^2+1$-квадрат рационального числа.
Но $v^4-6v^2+1$ является площадью прямоугольного рационального треугольника с длинами сторон
$A=\dfrac{(v^4-6v^2+1)(v^2+1)}{2v(v^2-1)},B=\dfrac{4v(v^2-1)}{v^2+1},C=\dfrac{(v^2-1)^4+16v^4}{2v(v^4-1)}$
а площадь прямоугольного рационального треугольника квадратом быть не может (что известно ещё от Ферма).
Противоречие доказывает утверждение.

Таким же образом (а может, по другому) докажите, что биссектриса в героновом треугольнике не может быть в 2 раза длиннее соответствующей стороны этого треугольника.

[scwec]

Доказательство о невозможности равенства удвоенной длины биссектрисы длине соответствующей стороны в героновом треугольнике
сводится к решению в рациональных числах уравнения $v^4-3v^2+1=w^2$, а его можно свести к уравнению $Y^2=X^3+3X^2-4X$.
Возможно, интересно тут то, что к этому же уравнению сводится задача о доказательстве того, что не существует вписанного в окружность четырехугольника
с рациональной площадью и длины сторон которого - последовательные числа Фибоначчи (рассматривалась на форуме 4 года назад).
http://dxdy.ru/topic62475.html