Замкнутое подмножество метрического пространства

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1116335 писал(а):

Это неверное рассуждение.

Да, это рассуждение неверное. Оно станет верным, если заменить в нем одно слово на два других. Я это простил, хотя, быть может, и зря.

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1116341 писал(а):

Someone в сообщении #1116335 писал(а):

Это неверное рассуждение.

Да, это рассуждение неверное. Оно станет верным, если заменить в нем одно слово на два других. Я это простил, хотя, быть может, и зря.

"является" на "должна являться"? :)

-- 18.04.2016, 17:19 --

Someone в сообщении #1116335 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$

(Формулы исправил.) Это неверное рассуждение. И то же связное двоеточие это демонстрирует. Вы, похоже, самые основные определения не понимаете.

P.S. Неправильно пишете формулы. Будут неприятности, когда модератор увидит.

Дело в том, что точка $\{a\}$ в этом метрическом пространстве тоже должна иметь окрестность 1/2, а значит не иметь пересечения этой окрестностью с точкой $\{b\}$, то есть она не должна быть точкой прикосновения, но я это опустил как само собой разумеещееся.

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1116350 писал(а):

Дело в том, что точка $\{a\}$ в этом метрическом пространстве тоже должна иметь окрестность 1/2, а значит не иметь пересечения этой окрестностью с точкой $\{b\}$, то есть она не должна быть точкой прикосновения, но я это опустил как само собой разумеещееся.

А вот зря опустили. Потому что фраза

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$

читается так, будто Вы считаете, что в любом пространстве всякое одноточечное открытое множество замкнуто, а это, конечно, неверно. На что и указал Someone (и я вслед за ним). Чтобы не получать таких претензий, нужно излагать свои мысли аккуратнее.

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1116359 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116350 писал(а):

Дело в том, что точка $\{a\}$ в этом метрическом пространстве тоже должна иметь окрестность 1/2, а значит не иметь пересечения этой окрестностью с точкой $\{b\}$, то есть она не должна быть точкой прикосновения, но я это опустил как само собой разумеещееся.

А вот зря опустили. Потому что фраза

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$

читается так, будто Вы считаете, что в любом пространстве всякое одноточечное открытое множество замкнуто, а это, конечно, неверно. На что и указал Someone (и я вслед за ним). Чтобы не получать таких претензий, нужно излагать свои мысли аккуратнее.

Ок. Вообще математика - великая вещь. Жаль что я открыл ее для себя только сейчас, в 40 лет... Начал с "Введения в Теорию групп" Александрова, сейчас читаю его же "Введение в теорию множеств и общую топологию". Смотрю видеозаписи лекций Шабата в НМУ - осенний семестр 2015 и решаю его листочки. И чем дальше, тем все интереснее и интереснее. Жена меня в выходные не может от математики оторвать! :)))

-- 18.04.2016, 17:50 --

Anton_Peplov в сообщении #1116323 писал(а):

Пожалуйста. Упражнение для Вас: показать, что первая аксиома отделимости равносильна тому, что любое двухточечное множество несвязно. Так что несвязность любого двухточечного множества имеет место в гораздо более широком классе пространств, чем метрические.

Имеем: $T_1: \forall x,y \in X\subset\subset TOP, \exists O_\varepsilon(x) : y \notin O\varepsilon(x), \exists O_\varepsilon(y) : x \notin O\varepsilon(y) $
Тогда, рассмотрим подмножество -двоеточие $S: \{x,y\}, \{x\}$ - не является точкой прикосновения $\{y\}$, а $\{y\}$ - не является точкой прикосновения $\{x\}$, следовательно $\{x\} и $\{y\}$ - замкнуты, а значит $S$- несвязно.
И обратно, если любое подмножество - двоеточие в $X$ - несвязно, то $\{x\}$ и $\{y\}$ - замкнуты, следовательно не имеют других точек прикосновения, а значит $\exists$ их окрестности, которые не содержат других точек, что постулируется $T_1$

-- 18.04.2016, 17:51 --

Someone в сообщении #1116335 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$

(Формулы исправил.) Это неверное рассуждение. И то же связное двоеточие это демонстрирует. Вы, похоже, самые основные определения не понимаете.

P.S. Неправильно пишете формулы. Будут неприятности, когда модератор увидит.

Постарался везде теперь писать парвильно, спасибо!