2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 11:09 


31/03/16
209
Читаю книгу Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию". И на странице 107 присутствует теорема "всякое замкнутое множество метрического пространства представимо в виде пересечение счётного множества его открытых множеств". Но как тогда это применимо к связному двоеточию? Как представить замкнутое множество состоящее из точки a, пересечением отрытых множеств - точки b, пустого множества и всего связного двоеточия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 11:31 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Никак не применимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
ikozyrev в сообщении #1116246 писал(а):
Но как тогда это применимо к связному двоеточию?
Продемонстрируйте метрическое пространство, в котором есть связное двоеточие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 12:51 


31/03/16
209
Anton_Peplov в сообщении #1116255 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1116246 писал(а):
Но как тогда это применимо к связному двоеточию?
Продемонстрируйте метрическое пространство, в котором есть связное двоеточие.


Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

-- 18.04.2016, 14:11 --

Цитата:
Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Или же такую метрику в этом пространстве ввести нельзя, потому что обе точки не имеют непересекающихся окрестностей, а следовательно \rho=0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):
Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Какие множества открыты в таком пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 13:25 


31/03/16
209
mihaild в сообщении #1116281 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):
Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Какие множества открыты в таком пространстве?

b, пустое множество и все связное двоеточие

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 13:44 


31/03/16
209
mihaild в сообщении #1116288 писал(а):
А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?


В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - a. И она будет являться замкнутым множеством.

-- 18.04.2016, 14:58 --

mihaild в сообщении #1116288 писал(а):
А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?


Я понял, при вводе метрики, связное двоеточие превращается в простое, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
ikozyrev в сообщении #1116284 писал(а):
mihaild в сообщении #1116281 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):
Все связное двоеточие, где $\rho(a,b)=1$

Какие множества открыты в таком пространстве?

$b$, пустое множество и все связное двоеточие
ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):
В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.
(Исправил ошибки в кодах формул.) И как же Вы узнали, что множество $\{b\}$ является открытым, но не замкнутым, а $a$ — наоборот, замкнутым, но не открытым?
Вы определение топологии в метрическом пространстве знаете?

ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):
Я понял, при вводе метрики, связное двоеточие превращается в простое, так?
Нет, не так. Ввести метрику на связном двоеточии нельзя. И на слипшемся двоеточии нельзя. А на дискретном двоеточии можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):
В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.
Оба утверждения верны, но не отвечают на поставленный вопрос. Будет ли эта окрестность открытым множеством? Да или нет. Ответ, пожалуйста, обоснуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 14:55 


31/03/16
209
Anton_Peplov в сообщении #1116296 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):
В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.
Оба утверждения верны, но не отвечают на поставленный вопрос. Будет ли эта окрестность открытым множеством? Да или нет. Ответ, пожалуйста, обоснуйте.


Цепь моих рассуждений следующая - если мы вводим на связном двоеточии ($\{b\},\{a,b\},\{\varnothing\}$- открытые множества, $\{a\}$ - замкнутое), метрику, например $\rho$=($a,b$)=1, то тогда $\exists$ окрестность точки b (например с радиусом 1/2), что в ней нет никаких точек кроме b, и тогда точка b является единтсвенной точкой прикосновения множества {b}, а следовательно множество {b} - замкнуто. Но тогда множество {a} - открыто (как дополнительное к множеству {b}), а значит, обе точки одновременно и открыты и замкнуты. Но это противоречит определению связного двоеточия, что и требовалось.

Все так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):
Все так?
Не всё так. Не так то, что Вы сначала берете топологию, а потом пытаетесь каким-то образом "поверх нее" задать метрику. На самом деле задание метрики уже однозначным образом задает топологию. И, в частности, топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, что Вы и продемонстрировали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 15:04 


31/03/16
209
Anton_Peplov в сообщении #1116318 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):
Все так?
Не всё так. Не так то, что Вы сначала берете топологию, а потом пытаетесь каким-то образом "поверх нее" задать метрику. На самом деле задание метрики уже однозначным образом задает топологию. И, в частности, топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, что Вы и продемонстрировали.


Моя задача как раз и была понять, почему топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, хотя в случае простого двоеточия это возможно.
С Вашей помощью разобрался, спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
Пожалуйста. Упражнение для Вас: показать, что первая аксиома отделимости равносильна тому, что любое двухточечное множество несвязно. Так что несвязность любого двухточечного множества имеет место в гораздо более широком классе пространств, чем метрические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое подмножество метрического пространства
Сообщение18.04.2016, 15:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):
тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$
(Формулы исправил.) Это неверное рассуждение. И то же связное двоеточие это демонстрирует. Вы, похоже, самые основные определения не понимаете.

P.S. Неправильно пишете формулы. Будут неприятности, когда модератор увидит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group