Спектр Фурье от сигнала

[chem_victory]

Доброго времени суток!
Пусть у нас есть гаусов сигнал.
Где-то вычитал (источник не помню), что за передний фронт у сигнала ответственны низкие частоты (в том смысле, что если он станет круче, до спектр уширится влево). а с задним фронтом в точности наоборот (становится круче, а спектр уширится вправо).
Не могу сообразить так ли это?

Если оба фронта стягиваются -> имеем "почти дельту функцию" -> спектр уширяется влево и вправо.
Если стянуть один фронт, то..

Подскажите, уважаемые!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вопрос, вообще говоря, по математике.

[Munin]

chem_victory в сообщении #1116078 писал(а):

Где-то вычитал (источник не помню)

Меньше читать ерунду надо.

[arseniiv]

chem_victory в сообщении #1116078 писал(а):

Если стянуть один фронт, то..

Сигнал перестанет быть гауссовым?

Вообще, от $\exp(-\frac{x^2}2)$ преобразование Фурье известно. Что будет с фурье-образом от сдвигов и всяческих растяжений, тоже. Если какие-то проблемы с расчётами, скажите.

-- Вс апр 17, 2016 20:48:02 --

А, ну да, самое главное. Инверсия времени тоже совершенно известным образом сказывается на образе. Каким?

[chem_victory]

Munin в сообщении #1116085 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116078 писал(а):

Где-то вычитал (источник не помню)

Меньше читать ерунду надо.

Вот и я думаю странно что-то.

arseniiv в сообщении #1116087 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116078 писал(а):

Если стянуть один фронт, то..

Сигнал перестанет быть гауссовым?

Вообще, от $\exp(-\frac{x^2}2)$ преобразование Фурье известно. Что будет с фурье-образом от сдвигов и всяческих растяжений, тоже. Если какие-то проблемы с расчётами, скажите.

-- Вс апр 17, 2016 20:48:02 --

А, ну да, самое главное. Инверсия времени тоже совершенно известным образом сказывается на образе. Каким?

Вопрос можно обобщить, можно ли предсказать по изменению фронта(переднего/заднего) как обоготится спектр?

Конечно перестанет, пусть правая часть останется гаус $(0;t]$, а левая - вертикальная стенка$ [-t;0)$ (сигнал от$ [-t;t]$).

[arseniiv]

chem_victory в сообщении #1116091 писал(а):

Вопрос можно обобщить, можно ли предсказать по изменению фронта(переднего/заднего) как обоготится спектр?

В некотором смысле вопрос пустой — нужно просто взять преобразование новой штуки и посмотреть. Если штука правильная, оно существует. И пускай оно даже будет не выразимо каким-то выбранным набором функций, его свойства вполне можно будет изучить.

Стоит задать, каким образом вы можете и не можете менять сигнал $f$. Тогда можно будет сказать что-то более определённое. Например, может, вас интересуют только штуки вида $f\circ g$, где $g$ монотонно неубывающая. Или вы берёте свёртку с чем-то (тут вообще тогда случай простой и много где рассмотренный, см. теорема о свёртке). Или…

[chem_victory]

arseniiv в сообщении #1116094 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116091 писал(а):

Вопрос можно обобщить, можно ли предсказать по изменению фронта(переднего/заднего) как обоготится спектр?

В некотором смысле вопрос пустой — нужно просто взять преобразование новой штуки и посмотреть. Если штука правильная, оно существует. И пускай оно даже будет не выразимо каким-то выбранным набором функций, его свойства вполне можно будет изучить.

Стоит задать, каким образом вы можете и не можете менять сигнал $f$. Тогда можно будет сказать что-то более определённое. Например, может, вас интересуют только штуки вида $f\circ g$, где $g$ монотонно неубывающая. Или вы берёте свёртку с чем-то (тут вообще тогда случай простой и много где рассмотренный, см. теорема о свёртке). Или…

Согласен, вопрос не корректен.
Интересен случай "завала фронта" или образования ударной волны (когда резкий перепад).
Как выше: слева гаус, справа - "прямоугльник"

[arseniiv]

Ну тогда это у вас умножение гаусса на хевисайда. Опять теорема о свёртке, только задом наперёд.

-- Вс апр 17, 2016 21:19:12 --

Плюс, возможно, хевисайд или прямоугольник, если не так понял. Но их спектр ведь тоже не секрет.

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116078 писал(а):

Пусть у нас есть гаусов сигнал.
Где-то вычитал (источник не помню), что за передний фронт у сигнала ответственны низкие частоты (в том смысле, что если он станет круче, до спектр уширится влево). а с задним фронтом в точности наоборот (становится круче, а спектр уширится вправо).
Не могу сообразить так ли это?

Уж одно из двух: или сигнал гауссов --- тогда крутизна фронтов одинакова, или крутизна разная --- тогда сигнал не гауссов. Уже в самой постанвке вопроса бред какой-то...

Но, конечно, по существу гауссовость тут просто ни при чем. А при чем здесь вот что. Возмем зеркальное отображение от сигнала: заменим $t$ на $-t$. Очевидно, что при этом задний и передний фронт поменяются местами. И столь же очевидно, что фурье-образ претерпит банальное комплексное сопряжение. Т.е. амплитудный спектр, модуль фурье-образа, вообще не поменяется. Т.о. Вы прочитали бред сивой кобылы.

[chem_victory]

http://www.bankreferatov.ru/referats/C325729F00717F7B43257B0B000E460B/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.doc.html


Абзац под рисунком 1

-- 18.04.2016, 09:51 --

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F

В вики, подпись к рисунку

-- 18.04.2016, 09:54 --

В вики как-то странно обозначены фронта (перепутаны? задний и передний)

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116228 писал(а):

Абзац под рисунком 1

И зачем эта ссылка на какой-то совершенно придурочный ресурс??? Ну бред там написан. Сивой кобылы. "Согласно обратному преобразованию Фурье, передний фронт обязан..." Как бы ни так, ничего такого согласно обратному преобразованию Фурье нет и не было никогда.

Вы бы еще сослались на матерные почеркушки на заборе Мало ли какие придурки каких понапишут глупостей... Придурков в природе много! К сожалению.

А в вики нет того, чего Вы тут нам написали, там вообще о другом речь. Хотя тоже ресурс не сказать чтобы авторитетный... Но ЭТОЙ глупости там не оказалось.

То, что написано в вики --- тоже нечто несколько мутное (в смысле качества изложения). Но хоть не откровенно бредовое. Собственно, здесь очень простой эффект, имеющий место уже без всяких там нелинейных эффектов. Достаточно лишь дисперсии. Импульс (волновой пакет) содержит разные частоты. При наличии дисперсии разные частотные компоненты распространяются с разными скоростями. В результате изначальный импульс (обычная синусоида амплитудно промодулированная, например, гауссовской огибающей) превращается в нечто близкое к так называемому ЛЧМ-импульсу (ЛЧМ --- линейная частотная модуляция), по-английски -- ''chirp-pulse" . Получается, что вблизи переднего фронта такого ЛЧМ-импульса колебания более медленные, а вблизи заднего --- более быстрые. Низкочастотные компоненты обгоняют (у них скорость больше) высокочастотные. Всего-то навсего, никаких чудес. Или, при другом знаке дисперсии (если скорость низкочастотных компонент наоборот меньше), наоборот. Возможен и обратный процесс: при распространении в среде с дисперсией относительно длинный ЛЧМ-импульс (или близкий к такому) превращается в более короткий. Не помешает подчеркнуть: при всех этих процессах амплитудный спектр не меняется вообще. Ничего сколь-нибудь похожего на то, что Вы (ну и в придурочной ссылке тоже) написали, нет.

А в вики свалили все в кучу, сюда же солитоны приплели.... Ну да, имеет некоторое отношение. Но только несколько более сложное отношение. Вообще все эти вики-затеи --- затеи довольно странные. Вредная это затея: дать возможность КОМУ ПОПАЛО писать как бы учебные тексты. Учиться нужно по нормальной учебной литературе. А не по всякой там интернет-бредятине.

[chem_victory]

Alex-Yu в сообщении #1116268 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116228 писал(а):

Абзац под рисунком 1

Cобственно, здесь очень простой эффект, имеющий место уже без всяких там нелинейных эффектов. Достаточно лишь дисперсии. Импульс (волновой пакет) содержит разные частоты. При наличии дисперсии разные частотные компоненты распространяются с разными скоростями. В результате изначальный импульс (обычная синусоида амплитудно промодулированная, например, гауссовской огибающей) превращается в нечто близкое к так называемому ЛЧМ-импульсу (ЛЧМ --- линейная частотная модуляция), по-английски -- ''chirp-pulse" . Получается, что вблизи переднего фронта такого ЛЧМ-импульса колебания более медленные, а вблизи заднего --- более быстрые. Низкочастотные компоненты обгоняют (у них скорость больше) высокочастотные. Всего-то навсего, никаких чудес. Или, при другом знаке дисперсии (если скорость низкочастотных компонент наоборот меньше), наоборот. Возможен и обратный процесс: при распространении в среде с дисперсией относительно длинный ЛЧМ-импульс (или близкий к такому) превращается в более короткий. Не помешает подчеркнуть: при всех этих процессах амплитудный спектр не меняется вообще. Ничего сколь-нибудь похожего на то, что Вы (ну и в придурочной ссылке тоже) написали, нет.

Спасибо, всё понял, кроме жирного момента.
Так будет, если мы сделаем чирп, т.е фазовую модуляцию. Верно?

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116285 писал(а):

Спасибо, всё понял, кроме жирного момента.
Так будет, если мы сделаем чирп, т.е фазовую модуляцию. Верно?

Чирп --- это скорее частотная модуляция. Впрочем, разница между частотной и фазовой модуляцией довольно условна, ибо частота --- ничто иное, как производная от фазы по времени. Так что линейная частотная модуляция и квадратичная фазовая --- одно и то же. Меняя слова "частотная модуляция" на слова "фазовая модуляция" нужно одновременно поменять и закон модуляции. Если это не забывать, то чирп можно обозвать не только частотно модулированным импульсом, но и фазово модулированным импульсом тоже.

[chem_victory]

Alex-Yu в сообщении #1116290 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116285 писал(а):

Спасибо, всё понял, кроме жирного момента.
Так будет, если мы сделаем чирп, т.е фазовую модуляцию. Верно?

Чирп --- это скорее частотная модуляция. Впрочем, разница между частотной и фазовой модуляцией довольно условна, ибо частота --- ничто иное, как производная от фазы по времени. Так что линейная частотная модуляция и квадратичная фазовая --- одно и то же. Меняя слова "частотная модуляция" на слова "фазовая модуляция" нужно одновременно поменять и закон модуляции. Если это не забывать, то чирп можно обозвать не только частотно модулированным импульсом, но и фазово модулированным импульсом тоже.

Спасибо, все понятно!
осталась неясность касаемо понятия https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity_dispersion

Есть волновой пакет - сумма гармоник. Каждая гармоника в дисперсионной среде движется со своей скоростью, но есть некий период когда "форма вновь собирается" - групповая скорость, т.е скорость огибающей.
О чем говорит ГВД, расплывание огибающей, или??..

[arseniiv]

chem_victory в сообщении #1116293 писал(а):

но есть некий период когда "форма вновь собирается" - групповая скорость, т.е скорость огибающей

Нет такого периода, всё может расползтись как угодно сильно. Чтобы начало собираться, нужна другая дисперсия (но потом всё снова расползётся).