Спектр Фурье от сигнала

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116293 писал(а):

но есть некий период когда "форма вновь собирается" - групповая скорость, т.е скорость огибающей.

Стоп-стоп-стоп.... Это как может период быть скоростью????

Групповая скорость --- это скрость движения огибающей ПРИ ОЧЕНЬ ДЛИННОМ, УЗКОПОЛОСНОМ ИМПУЛЬСЕ (с синусоидальным заполнением). И, надо бы добавить, на не очень большом времени. В таких условиях (длинный узкополосный импульс и небольшой промежуток времени) расплыванием можно пренебречь.

В принципе, можно приготовить импульс (устроенный специальным образом), который при распространении в дисперсионной среде "соберется в кучку", станет довольно узким. Но один раз. Собравшись, он тут же опять станет расплываться (в принципе, расплываться до бесконечности). Простой гауссовский импульс будет только расплываться. Сразу и сколь угодно сильно (за очень большое время).

[chem_victory]

Alex-Yu в сообщении #1116325 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116293 писал(а):

но есть некий период когда "форма вновь собирается" - групповая скорость, т.е скорость огибающей.

Стоп-стоп-стоп.... Это как может период быть скоростью????

Групповая скорость --- это скрость движения огибающей ПРИ ОЧЕНЬ ДЛИННОМ, УЗКОПОЛОСНОМ ИМПУЛЬСЕ (с синусоидальным заполнением). И, надо бы добавить, на не очень большом времени. В таких условиях (длинный узкополосный импульс и небольшой промежуток времени) расплыванием можно пренебречь.

В принципе, можно приготовить импульс (устроенный специальным образом), который при распространении в дисперсионной среде "соберется в кучку", станет довольно узким. Но один раз. Собравшись, он тут же опять станет расплываться (в принципе, расплываться до бесконечности). Простой гауссовский импульс будет только расплываться. Сразу и сколь угодно сильно (за очень большое время).

Это понятно! неясность про определение ГВД и зачем оно - характеризует расплывание пакета? А третье приближение дисперсии - ассиметричность профиля при распространении?

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116329 писал(а):

про определение ГВД и зачем оно - характеризует расплывание пакета?

Нет. Групповая скорость характеризует движение огибающей пакета. Пакет же не только форму меняет, но и все время смещается в пространстве. Вот последнее характеризуется групповой скоростью (причем не для любых волновых пакетов! а только для узкополосных). А к первому (изменению формы пакета) она просто не имеет отношения.

"Третье приближение дисперсии" --- это не понятно что такое. Конечно, можно решать уравнения по теории возмущений: первое приближение, второе, и т.д. Но можно, в принципе, и сразу точно решать (в конце концов численно на компьютере, приближенно заменив интеграл на большую, но конечную сумму). Дисперсия будет, а никаких первых, вторых и т.д. приближений не будет. Сама по себе дисперсия не имеет отношения к каким-то там приближениям.

Кстати, в таких задачах обычно можно ограничиться рассмотрением лишь асимтотически больших времен. Тогда требуемый интеграл легко и просто вычисляется методом стационарной фазы и никакой теории возмущений не требуется.

-- Пн апр 18, 2016 19:45:03 --

Alex-Yu в сообщении #1116331 писал(а):

Тогда требуемый интеграл легко и просто вычисляется методом стационарной фазы и никакой теории возмущений не требуется.

Впрочем, если дисперсия слабая (тоже часто бывает, особенно в оптике), то асимтотически большие времена могут оказаться столь большими, что не представляющими интереса. Тогда метод стацфазы не проходит, тогда теория возмущений для малых времен. Но в любом случае это все лишь методы вычисления для некоторых специальных случаев.

[chem_victory]

некорректно отписал, наверное. имел в видуне груповую скорость, а GVD (Group Velocity Dispersion) = вторая производная волнового вектора по частоте.
за что она ответственна.

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116343 писал(а):

вторая производная волнового вектора по частоте.
за что она ответственна.

За расплывание, изменение формы импульса. Но то уже теория возмущений. Потому как все высшие производные, вообще говоря, влияют на изменение формы импульса. В конце концов ряд по степеням частоты может вообще не сходиться (хотя это уже чисто теоретическая экзотика). Тогда производные вообще не при чем. Все Тогда надо брать $k(\omega)$ как есть, без разложения в ряд и в таком виде считать интеграл

$$ U(x,t)=\int \limits^{\infty}_{-\infty}S(\omega) e^{i(k(\omega)x - \omega t)} d\omega $$

В общем все эти разговоры вертятся вокруг этого интеграла (в случае с дисперсией, но без нелинейности). Вся эта наука "сидит" в этом интеграле. А все разговоры вокруг.... Разговоры они и есть разговоры, дело довольно несерьезное

Так что лучше обратиться к записанному выше интегралу и забыть про всякие вики и т.п. Возмите узкополосный импульс. Т.е. $S(\omega)$ отлична от нуля только в узком интервали вблизи некой $\omega_0$. Дале возмите по очереди разные приближения:

$$ k \approx k_0 + \left. \frac{\partial k}{\partial \omega} \right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0) $$

$$ k \approx k_0 + \left. \frac{\partial k}{\partial \omega} \right|_{\omega=\omega_0} (\omega-\omega_0) + \frac{1}{2}\left. \frac{\partial^2 k}{\partial \omega^2} \right|_{\omega=\omega_0} (\omega-\omega_0)^2 $$

Ну еще следующее приближение можно. Проанализируйте в этих приближениях интеграл и все станет понятно. Без всяких там вики и прочей болтовни

[chem_victory]

Alex-Yu в сообщении #1116348 писал(а):

chem_victory в сообщении #1116343 писал(а):

вторая производная волнового вектора по частоте.
за что она ответственна.

За расплывание, изменение формы импульса. Но то уже теория возмущений. Потому как все высшие производные, вообще говоря, влияют на изменение формы импульса. В конце концов ряд по степеням частоты может вообще не сходиться (хотя это уже чисто теоретическая экзотика). Тогда производные вообще не при чем. Все Тогда надо брать $k(\omega)$ как есть, без разложения в ряд и в таком виде считать интеграл

$$ U(x,t)=\int \limits^{\infty}_{-\infty}S(\omega) e^{i(k(\omega)x - \omega t)} d\omega $$

В общем все эти разговоры вертятся вокруг этого интеграла (в случае с дисперсией, но без нелинейности). Вся эта наука "сидит" в этом интеграле. А все разговоры вокруг.... Разговоры они и есть разговоры, дело довольно несерьезное

Так что лучше обратиться к записанному выше интегралу и забыть про всякие вики и т.п. Возмите узкополосный импульс. Т.е. $S(\omega)$ отлична от нуля только в узком интервали вблизи некой $\omega_0$. Дале возмите по очереди разные приближения:

$$ k \approx k_0 + \left. \frac{\partial k}{\partial \omega} \right|_{\omega=\omega_0} $$

Спасибо! не подкините пару книжек по нелинейной оптике/теории волн?

[Alex-Yu]

chem_victory в сообщении #1116357 писал(а):

Спасибо! не подкините пару книжек по нелинейной оптике/теории волн?

Я там выше дописал. А на счет книжек.... Не, не подскажу. Слишком уж это зависит от устремлений и имеющейся подготовки.

-- Пн апр 18, 2016 20:33:05 --

Alex-Yu в сообщении #1116348 писал(а):

Проанализируйте в этих приближениях интеграл и все станет понятно.

Полезно еще вычислить этот интеграл методом стацфазы для больших времен. При этом $U(x,t)$ прямо выразится через $S(\omega)$.

[chem_victory]

Спасибо!
Устремления - оптика, фемтоимпульсы.

[AL Malino]

chem_victory в сообщении #1116357 писал(а):

не подкините пару книжек по нелинейной оптике/теории волн?

Вот, например (с учётом Ваших "устремлений" ): Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. «Оптика фемтосекундных лазерных импульсов»
http://www.twirpx.com/file/224562/
Старовата, конечно. Но ничего особо нового с тех пор не изобретено.
Хотя попробуйте набрать в Yandex'e запрос типа «фемтосекундные аттосекундные лазерные импульсы», может, чего и поновее выдаст.