Простое подполе и его изоморфизмы

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1116103 писал(а):

Либо символом $P_0$ называется поле, образованное этими дробями, и тогда ясно, что оно простое.

А в этом случае откуда понятно что оно простое?

[demolishka]

student1138 в сообщении #1116123 писал(а):

А в этом случае откуда понятно что оно простое?

Тупо по построению.

[student1138]

Я не могу понять еще одного нюанса по доказательству.

А зачем вообще автор ввел гомоморфизм $f: \mathbb{Z} \to P, f(n) = n \cdot 1$? Вроде бы для наших рассуждений которые мы проделали выше он не нужен. Да и по доказательству из учебника тоже не понятно какую роль этот гомоморфизм играет.

[demolishka]

student1138, для удобства изложения.

[student1138]

Разобрал вторую часть теоремы и вот что не могу понять.
В случае когда $m$ - простое число, устанавливается изоморфизм между $\mathbb{Z}_m$ и $P_0$

Но что происходит когда когда $m$ не простое и не равно нулю? Я так понимаю под первую часть теоремы он не попадает т.к. дроби $\frac{1 \cdot s}{1 \cdot t}$ уже не будут изоморфны $\mathbb{Q}$.

Добавлю, если знать заранее, что характеристика поля может быть только простым числом, то тогда все понятно.
Но дело в том, что ничего такого мы пока не знаем, определение характеристики будет дано только после этой теоремы и на основании нее: поле, простое поле которого изоморфно $\mathbb{Q}$, имеет характеристику нуль, а поле простое поле которого изоморфно $\mathbb{Z}_m$, имеет характеристику $m$.

А вот без этого знания возникает вопрос который я написал выше.

[Slav-27]

student1138 в сообщении #1116411 писал(а):

если знать заранее, что характеристика поля может быть только простым числом, то тогда все понятно.
Но... определение характеристики будет дано только после этой теоремы

Вы доказали, что поле $P_0$ изоморфно $\mathbb Z_m.$ Теперь полистайте выше: там доказано, что $\mathbb Z_m$ поле только при простом $m.$ (Тут и доказывать-то нечего: понятно ведь, кто будут делителями нуля.)

(Оффтоп)

Вам, может, попроще какую книжку почитать для начала?

[demolishka]

student1138 в сообщении #1116411 писал(а):

Но дело в том, что ничего такого мы пока не знаем, определение характеристики будет дано только после этой теоремы и на основании нее: поле, простое поле которого изоморфно $\mathbb{Q}$, имеет характеристику нуль, а поле простое поле которого изоморфно $\mathbb{Z}_m$, имеет характеристику $m$.

Как по мне, так эта теорема никакого отношения к определению характеристики не имеет и так, как написали Вы, определять ее не очень удачно. То что характеристика поля и подполя одинаковая --- факт тривиальный, ровно как и тривиально то, что ненулевая характеристика поля обязана быть простым числом. А теорема эта скорей говорит о некоторой "минимальной основе" поля в зависимости от его характеристики.

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1116425 писал(а):

student1138 в сообщении #1116411 писал(а):

если знать заранее, что характеристика поля может быть только простым числом, то тогда все понятно.
Но... определение характеристики будет дано только после этой теоремы

Вы доказали, что поле $P_0$ изоморфно $\mathbb Z_m.$ Теперь полистайте выше: там доказано, что $\mathbb Z_m$ поле только при простом $m.$ (Тут и доказывать-то нечего: понятно ведь, кто будут делителями нуля.)

(Оффтоп)

Вам, может, попроще какую книжку почитать для начала?

А кажется понял. Тут последовательность рассуждений иная чем я представлял.
В случае, когда $m \neq 0$ полем оказываются последовательности $1\cdot n$. И по той же логике что и в первой части, это и будет $P_0$.
Затем мы обнаруживаем что это поле изоморфно $\mathbb Z_m$.
Но т.к. $P_0$ - поле, значит и $\mathbb Z_m$ поле, а значит $m$ - простое.

Вот по-моему сейчас почти все относительно этой теоремы у меня прояснилось в голове. Я как-будто все время пытался думать "в обратном порядке", ожидая что простое поле появится как следствие. А тут, наоборот, все с него началось.

Очень полезны были вот эти Ваши два вопроса:

Цитата:

Почему они все лежат в $P_0$?
Почему они не могут образовывать собственного подполя $P_0$?

Это вообще непривычный ход мысли для меня был - осознать, что раз все элементы образуют подполе в поле, которое не содержит собственных подполей, то подполе, образованное этими элементами, и есть само искомое поле.

-- 18.04.2016, 21:24 --

demolishka в сообщении #1116442 писал(а):

Как по мне, так эта теорема никакого отношения к определению характеристики не имеет и так, как написали Вы, определять ее не очень удачно. То что характеристика поля и подполя одинаковая --- факт тривиальный, ровно как и тривиально то, что ненулевая характеристика поля обязана быть простым числом. А теорема эта скорей говорит о некоторой "минимальной основе" поля в зависимости от его характеристики.

Ну вот в учебнике Кострикина характеристику определяют именно так. Я хотел понять ход мыслей автора учебника. И не зря - в процессе были прозрения.

А в учебнике Винберга характеристика определена "обычно" (наименьшее $n$ при котором $1 \cdot n = 0$), и он вообще не приводит эту теорему. Тут и вопросов не возникает.