Инвариант относительно поворота кривой второго порядка.

[Charlz_Klug]

Возьмём уравнение эллипса $\frac {x^2} {4} + \frac {y^2} {1} = 1$, тогда его инвариант $I = \frac {1} {4} + 1 = \frac {5} {4}$. если то же самое уравнение записать как $x^2 + 4 y^2 = 4$, то его инвариант будет $I = 5$. Насколько я понимаю инвариант не должен был меняться. А инвариант меняется. Почему?

[demolishka]

Приведите определение этого "инварианта".

[Charlz_Klug]

demolishka в сообщении #1116012 писал(а):

Приведите определение этого "инварианта".

Инвариант - некоторая величина, которая не меняется при преобразованиях.

[NSKuber]

Charlz_Klug
А с чего вы взяли, что ваша величина $I$ должна являться инвариантом?

[Charlz_Klug]

NSKuber в сообщении #1116016 писал(а):

А с чего вы взяли, что ваша величина $I$ должна являться инвариантом?

Пусть есть формула $a x^2 + b y^2 = e$, здесь $I=a+b$. Пусть $x = X + m$, а $y = Y + k$. Тогда:
$a (X + m)^2 + b (Y+k)^2 = e \Rightarrow a(X^2+2mX+m^2)+b(Y^2+2kY+k^2)=e \Rightarrow$
$ aX^2+bY^2+2amX+2bkY+am^2+bk^2=e$. Теперь $I=a+b$, то есть не изменился.

-- 17.04.2016, 16:12 --

Похоже, начинаю понимать, преобразовав формулу $\frac {x^2} {4} + \frac {y^2} {1} = 1$ в формулу $x^2 + 4 y^2 = 4$. С точки зрения инвариантов я получил две абсолютно разные формулы. А инвариант остаётся прежним только тогда, когда меняются лишь $x$ и $y$. Правильная мысль?

[ИСН]

Слово "инвариант" бессмысленно без уточнения, при каких именно преобразованиях это инвариант.

[Aritaborian]

Значит, это не инвариант.

[Charlz_Klug]

ИСН в сообщении #1116024 писал(а):

Слово "инвариант" бессмысленно без уточнения, при каких именно преобразованиях это инвариант.

Ага! Цитирую: "инвариант относительно сдвига и поворота системы координат". Изначально не обратил на это внимание.

-- 17.04.2016, 16:38 --

Aritaborian в сообщении #1116026 писал(а):

Значит, это не инвариант.

Да, то, что я себе представлял оказалось не инвариантом. Спасибо за ответы!