Помогите разобраться с (не)броуновским случайным процессом.

[Lockywolf]

Всем здравствуйте.

Есть задача, не понимаю, как её решать.

Есть случайный процесс: $X(t) = \sqrt{t}\cdot Z$, где $Z \sim N(0,1)$.

Его маргинальные распределения при фиксированном $t$ понятное дело, $N(0, t)$.

Надо найти распределение приращения $X(t') - X(t'')$. Ума не приложу, как это сделать.

Очевидно, что это не просто распределение разностей маргинальных распределений -- они явно зависимы. Но как выписать формулу -- я не понимаю.

Что-нибудь вроде $\int_{-\infty}^{\infty}\ N(0, t')\int_{x - \alpha}^{x+\alpha}N(0, t'')d\alpha d x$?

Что-то мне эта формула тоже не внушает доверия. По-моему, я какую-то глупость написал.

А броуновский процесс тут при том, что это распределение для Броуновского процесса должно не зависеть от $t', t''$, а зависеть только от $|t'-t''|$, что для данного конкретного процесса должно быть неверно.

Так как это в самом деле считать?

[Otta]

Ну а чего бы не подставить нужные значения времени в $X(t)$?

[Lockywolf]

>>Ну а чего бы не подставить нужные значения времени

Так они же зависимы, нет?

[Otta]

Так случайная величина-то одна и та же.
То есть что-то, линейно зависящее от одной случайной величины. Не одного распределения, а случайной величины. Во всяком случае, так у Вас.

[Lockywolf]

Мммм, я всё равно не понял.

Ну, то есть вы мне предлагаете написать $\Delta X = X' - X'', \, X' \sim N(0, t'), X'' \sim N(0, t'') $ и сказать, что это сумма двух гауссово распределённых случайных величин, и что $\Delta X \sim N(0, t'-t'')$?

Это кажется, неверно ровно потому, что они зависимы.

[Otta]

Lockywolf в сообщении #1115819 писал(а):

Это кажется, неверно ровно потому, что они зависимы.

Это - да, неверно, но это и не то.

Я ни на чем не настаиваю (и вообще сплю уже), но между записью
$X(t)\sim N(0,t)$ и записью

Lockywolf в сообщении #1115802 писал(а):

$X(t) = \sqrt{t}\cdot Z$, где $Z \sim N(0,1)$.

есть разница. Кто-то из них частный случай кого-то другого. Так вот Вы пользуетесь не тем, что было изначально. Может, если воспользоваться оригинальным условием, то будет и проще?

[Lockywolf]

Цитата:

есть разница.

Эмм... Я, честно говоря, в недоумении.

Я пересчитал по первой записи, и всё совпало с ответом. То есть ваш совет верен.

Но я всё равно не понимаю, почему так получается, что "кто-то из них частный случай кого-то другого". Почему внесение $\sqrt{t}$ под знак распределения оказывается "деструктивной" операцией? Ведь вроде и там, и там описано распределение от t и x.

В любом случае, спасибо вам за совет.

[Otta]

Потому что случайная величина и распределение - не одно и то же. Бывают самые разные случайные величины, как зависимые, так и независимые, но одинаково распределенные.

Потому что при Ваших манипуляциях происходила потеря информации. Вы "помнили", какое распределение у процесса в каждый момент времени, но что все сечения пропорциональны одной и той же случайной величине (не распределению!) - эта информация Вами терялась.

[Lockywolf]

Извините, я всё ещё не понял, хотя в голове несколько проясняется.

А не подскажете, как из первой формулы вывести распределение на пространстве траекторий $\xi(t,x)$? Кажется, переход к такому распределению не должен терять информацию.

Я, правда, не знаю, как записывать бесконечномерные распределения.

Это же не будет интеграл по траектории от маргинальной плотности?

[DeBill]

Lockywolf

Lockywolf в сообщении #1115802 писал(а):

Что-нибудь вроде $\int_{-\infty}^{\infty}\ N(0, t')\int_{x - \alpha}^{x+\alpha}N(0, t'')d\alpha d x$?

Что за страшную весчь Вы тут написали?
А-а-а, видимо, Ваши $N(0,t')$ - это плотность в точке $x$ ? И формулу Вы сочинили - как для независимых...
Но Вы же сами писали, что зависимы они...

Однако, логика во всем этом есть: ведь для вычисления распределения разности как раз и будет нужно совместное распределение пары $(X(t'), X(t''))$. И чтобы с ним разобраться, попробуйте для начала вычислить условную вероятность
$P\{X(16) =x| X(9) = 7\}$...

[Otta]

Lockywolf в сообщении #1115883 писал(а):

Извините, я всё ещё не понял,

Ну давайте еще по-другому попробую.
Вот пусть есть, к примеру, простенький процесс
1) $X(t)\sim N(0,1)$ при фиксированном $t$,
2) $X(t,\omega)=Z(\omega)$, где $Z\sim N(0,1)$.
Про второй я знаю все. Что все его сечения одинаковы, со временем не меняются, могу посчитать и матожидание процесса (забавно будет, конечно, но могу), и дисперсию, и автокорреляционную функцию.
А для первого - нет. Я даже не знаю, одинаковы ли все его сечения. Может, например, одно равно какой-то $\xi(\omega)$, а второе - ей же, но с минусом. Если одна распределена стандартно нормально, то и вторая. И если я знаю матожидание и дисперсию процесса, то автокорреляционная функция мне уже неведома, потому что мало ли как они между собой там все устроены. Грубо говоря, взяли какую-то нормальную и повертели (со временем) в разные стороны, а куда - нам не сказали. Эта информация, информация только лишь о распределении каждого сечения, не дает описания процесса.

Так и у Вас. Вам дали бóльшую информацию, чем Вы пытались использовать. Вы можете посчитать все - в том числе и автокорреляционную функцию, - с исходной информацией. Попробуйте. Выбросив ее и оставив информацию только о том, что Ваши сечения распределены нормально - нет. Попробуйте.

В принципе, автокорреляционной функции вполне достаточно для вычисления распределения разности двух нормальных. Но тут можно и обойтись, как я предлагала.

[Lockywolf]

$Ну давайте еще по-другому попробую.$

На самом деле я почти понял, но мне не хватает маленькой детали -- всё-таки можно ли как-то записать для процесса функцию распределения на траекториях?

Ну, то есть, я, видимо, слабовато для этого знаю функциональный анализ, но можно же, наверное, ввести меру на всех допустимых траекториях процесса так, чтобы она всё описывала?

Она бы, по идее, содержала в себе всю информацию о процессе.